用Matlab仿真探究摆角对单摆周期影响.doc

用Matlab仿真探究摆角对单摆周期影响摘要:本文通过Matlab仿真验证小角摆动是简谐振动,并利用数值法求解微分方程,画出不同摆角下单摆的振动图像,定性分析,得出大角摆动时单摆周期随角度的变化情况。关键字:,物理学中所讨论的单摆是一种理想化的模型,也称数学摆。它由一根不可伸缩的细线(质量不计),一端固定,另一端悬挂一质量为m的小球(视为质点),且摆角小于5度的振动系统。对于这种理想单摆的周期,不随摆角大小的改变而改变。但当单摆摆角大于5度时,理想单摆的周期公式不再适用,本文通过建立物理模型,在忽略空气阻力的前提下,用Matlab进行大角摆动的模拟,画出震动图像,研究大角摆动时摆角对周期的影响。,摆线不可伸长且质量忽略不计,,摆球质量为m,重力加速度为g,摆球离开平衡位置的角度为,对摆球做受力分析如有图所示。由牛顿第二定律,有=-(1-1)其中假定位移很小,,即小角摆动。则式1-1可表示为(1-2)大角摆动时,仍为1-1式,该式为非线性方程,为方便起见,将用y来表示,该式又可以写为下列一阶微分方程组;(1-3)-1,其结果为y=theta0*cos(1/l^(1/2)*g^(1/2)*t)(2-1)即(2-2)由式2-1可以看出,当小角摆动时为简谐振动。其周期为: T= (2-3)取摆长l=1,重力加速度g=,摆角,利用Matlab求解式1-1,,与应用式1-2求出解析解并绘图,将两图象放在一起比较如下图1所示图1小角摆动图1中曲线为求解式1-2所得图像,而离散点为求解式1-1所得,观察图像可得两方程的解几乎吻合,可以说明当较小时(),两方程的解几乎相等,故周期公式此时较为准确,即单摆周期不随摆角变化而变化。上述结论仅仅适用于摆角很小时(),当摆角很大时,不再成立,式1-1与式1-2的解不再相近,故周期公式(2-3)不再成立。下面我们继续讨论摆角比较大时的单摆运动规律。-1,前面已经提到为方便起见用式1-3表示。利用数值法求解微分方程,用Matlab分别绘制,,时的振动图像,如下图2所示图2大角摆动观察图2中不同摆角的振动图像,可以看出摆角时,周期最小,摆角时,周期最大。从而得出大角摆动时,单摆周期并不像小角摆动时一样,不随摆角变化,而是大角摆动周期随着摆角的增大而增大。结语:对于类似单摆的运动问题,我们需要求解非线性微分方程,然而对于非线性微分方程又很难求出解析解,所以可以应用Matlab求出数值解,再加以分析,从而得出单摆的运动规律。本文通过计算、作图验证了小角摆动是时单摆的振动周期公式是正确的,得出小角摆动周期不随摆角的改变而改变;对于大角摆动,本文则通过数值解并绘图,定性得到大角摆动时,单摆周期随着摆角的增大而增大。参考文献:[1]钞曦旭,MATLAB及其在大学物理课程中的应用[M],西安:陕西师范大学出版社,2006[2]陈怀琛,MATLAB及其在理工课程中的应用指南(第三版)[M],西安:陕西电子科技大学出版社,2007附录clear,clcy=dsolve(