数列知识点总结.docx

数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义:(为常数),等差中项:成等差数列前项和性质:是等差数列(1)若,则a(2)数列 {2n-1, a , a}{ }{2n2n+1}仍为等差数列,仍为等差数列,公差为 n 2d ;,有(3)若三个成等差数列,可设为(4)若是等差数列,且前项和分别为,则(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为 0 的二次函数)。的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项, (即:当,解不等式组可得达到最大值时的值 ;当,由可得达到最小值时的值. )(6)项数为偶数 2n 的等差数列S2n= n(a + a ) = n(a + a1 2n 22n-1) = L = n(a + ann+1)(a , a 为中间两项 )n n+1S - S偶奇= nd , SS奇偶= anan+1.,有(7)项数为奇数 2n - 1 的等差数列SS2n-1= (2n - 1)a (a 为中间项) ,      Sn n奇- S偶= a , Sn奇偶=  n .n - 12. 等比数列的定义与性质定义:(为常数,),.等比中项:成等比数列,:性质:是等比数列(1)若,则(2)仍为等比数列,公比为 q n .◆  由 S  求 a  。(   a   =í nîS1 , n = ìS - Sn n nn-1, n ³ 2)î4, n = 1例 1:数列,,求解 时,,∴时, ①②①—②得:,∴,∴[练习]数列满足,求ì3 × 4 n-1 , n ³ 2注意到,代入上式整理得,又,∴是等比数列,故。时, 故a = ín◆由递推公式求 an(1)累加法( an+1- a = f (n)形式 )nï解: n ³ 2时,n-1ý   累加得 a   - a  = 3 + 32 + L  + 3n-1 =LLï例 2:数列中,,求a - a = 3n-1 ün n-1a - a = 3n-2 ïn-2n 13(3n-1 - 1)2a -a = 32 1ïþ\ a =n12(3n - 1)(2)累乘法(an+1 = f (n)形式 )an例 3:数列中,,求解: ,∴又,∴.(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)▼取倒构造( an+1等于关于 an的分式表达)例 4:,求解:由已知得:,∴∴为等差数列,,公差为,∴,∴▼ 同除构造例 5: a = 1, a1n+1= 3a + 3n , 求a 。n n解:对上式两边同除以 3 n+1 ,得  a,则 í n ý 为等差数列, 1 =a 1n+1 = n +3n+1 3n 3ì a ü a 1î 3n þ 3  3,公差为 ,∴ n  =  + (n - 1) ×  =  ,∴ a   =3     3n 3         3   31 a 1 1 nnn × 3n3= n × 3n-1 。例 6: a = 1, a1n+1= 2a + 3n+1 ,求 a 。n n解 : 对 上 式 两 边 同 除 以  2 n+1 , 得  a) n+1 , 令 b   = n   , 则 有2 n+1   2 n                  2 na 3 a