七、三角形四心问题一、四心的概念介绍(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合(1)就是的重心、证法1:设就是的重心、证法2:如图三点共线,且分为2:1就是的重心(2)为的垂心、证明:如图所示O就是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC,D、E就是垂足、同理,为的垂心(3)设,,就是三角形的三条边长,O就是ABC的内心为的内心、证明:分别为方向上的单位向量,平分,),令()化简得(4)为的外心。三、例题分析例1:就是平面上一定点,就是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的例2:就是平面上一定点,就是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的例3:就是平面上一定点,就是平面上不共线的三个点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的四、,满足,若实数满足:,,半径为1,,,,若,,就是平面上不共线的三个点,若,,两条边上的高的交点为H,,则实数m=(+)·=0且·=,则△,若,则为
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