在代数里我们知道.doc

π和e
七 e
在代数里我们知道,除1以外的任何正数都可以当作对数的底. 通常为了计算方便起见,我们采用以10为底的对数,就是所谓常用对数. 此外,在高等数学、科学技术里,我们还常采用以e为底的对数. . 以e为底的对数,叫做自然对数. 数e叫做自然对数的底. 下面我们来看怎样确定e.
现在先举出e的一个定义:如果级数
是收敛,我们就把它的和记做e.
我们先来证明级数(72)是收敛的.
事实上,级数(72)的n次部分和是
容易看出,
(73)
而且
所以
应用等比数列求和的公式,得
把(74)和(75)结合起来,就得到
. (76)
从(73)和(76)可以看出,数列S1,S2,……,Sn,……的各项逐次增大,但是它始终少于常量3. 根据现行代数课本里的定理,可以知道Sn存在极限. 这就证明了级数(72)是收敛的.
而且
,
因此,.
我们再来计算e的近似值. 取级数(72)的第n次部分和作为近似值,那末误差是
而
所以
特别地,取n=8,那末
我们只要对
进行简单的计算,就得到
因此,从得到
从e=S8+R8,并且应用(78)和(79)得到
因此,
e=……
用上面的方法,只要取充分大的n的值,利用电子计算机可以得到e的近似值到上万位小数.
下面我们再来看e的一个性质,就是:e也是无穷级数列
的极限,就是:
这个公式的证明这里也略去.
下面我们来谈谈e在其他方面的应用.
再来考察比(72)更一般的级数
我们也可以证明这个幂级数,对一切实数x是收敛的,而且它的和就是指数函数. 换句话说,指数函数可以展开成幂级数
在(81)里,如果取x=1,就是级数(72);如果取x=-1,那末就得到.
如果用复数z代替(81)右边的x. 所得到的级数也可以证明它是收敛的. 我们就把它的和记做,称做e的z次幂. 例如,我们用i表示虚数单位,y表示实数,那末
我们已经知道
因此,(83)又可以写做
再根据(61)和(62),我们就得到
这是一个有用的公式,叫做欧拉公式.
在(84)里,设或者,那末就得到和e之间的一个重要关系:
上面两式里出现的四个数:
e,i,π,1,
都是数学里的重要的数.
应