函数的奇偶性和周期性.docx

(x—1)(3)f(x)二|x■2|-2(4)f(x);x(1-x) (xvO),〔x(1+x) (x>0).函数的奇偶性和周期性基本知识1函数的奇偶性的定义:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(_x)=_f(x)〔或f(_x)+f(x)=O丨,则称f(x)。对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(_x)=f(x)〔或f(_x)_f(x)=O丨,则称f(x)为偶函数•偶函数的图象关于y轴对称。注:奇函数+奇函数一定是奇函数,可能为偶函数 偶函数+偶函数一定是偶函数,可能为奇函数奇函数*奇函数为偶函数,偶函数*偶函数为偶函数。奇函数*偶函数为奇函数2、函数的周期性命定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。基本方法1、奇偶性的综合应用奇函数偶函数定义域关于原点对称关于原点对称解析式F(-x)=-F(x)F(-x)=F(x)图像关于原点对称关于y轴对称对称区间单调性相同相反函数值的符号相反相同右在x=0处有意义 f(0)=0任意2、周期性的常见判断方法:f(x+a)=f(x)则周期为a f(x+a)=-f(x)则周期为2af(x+a)=f(x+b)则周期为丨a-bI f(x+a)=f(x-a)则周期为2a若f(x・a)二丄则周期为2af(x)基本题型 考点一:奇偶性的基本性质题型1:判断有解析式的函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)•题型2:证明抽象函数的奇偶性[例2]定义在区间(T,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y(T,1),X十V都有f(x)•f(y)=f().求证f(X)为奇函数;1+xy练习:1•设函数f(x)=(x2+1+a)为奇函数,则a= (x)二ax2bx3ab是定义域为[a-1,2a]的偶函数,贝Va-b的值是( );B.—;;D.-:a二b=a2-b2,a:b=.(a-b)2,贝Uf(x) -—(x过2)_2是 函数,(填奇、偶、非奇非偶,既奇又偶四个中的一个)(x)ax2 1bxc(a、b、c€Z)是奇函数,f(1)=2,f(2):::3,、单调性的综合应用[例3]已知奇函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,若f(m-1)•f(2m-1)•0,求实数m的取值范围。[例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(,0内单调递增,f(2a2+a+1)<f(3a2—2a+1).求a的2取值范围,并在该范围内求函数 y=(-)aJ3a1的单调递减区间•(x)是奇函数,且在 0,=内是增函数,又f(3)=0,则xf(x):::0的解集是()A.{x-3<xc0或x>3};B.{xxv-3或0cxv3}C.{xxc—3或xa3};D.{x—3cxv0或Ovxpf(x)0;当x3时,f(X)::0,可见xf(