求解积分因子的方法整理.docx

求解积分因子的方法整理求解积分因子的方法整理、恰当微分方程与积分因子1对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0其左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分,即P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)则称方程(1)为恰当微分方程。容易得到方程(1)的通解为u(x,y)=c(这里的c为任意常数)。可是若(1)不是恰当微分方程,如果存在连续可微的函数u=u(x,y)工0,使得u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=0为恰当微分方程,则称 u(x,y)为方程(1)的积分因子。2、恰当微分方程的判定对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0它为恰当微分方程的必要条件为:二、几种常见的积分因子的类型及求法1、存在只与x有关的积分因子(1)充要条件:(2)形式:u=e(x)dx2、存在只与y有关的积分因子泌一JN充要条件::y :x=(y)—M形式:e(y)dy这里的(x).(y)分别是只关于x、y的函数。3、方程(1)有形如u(x,y)=F(x,y)的积分因子,充要条件:3/Vdxdy'2yM-2xN=/(x2+/)+x+y)dx—(%—y)dy解:公式中的=x3,则攀=2xy+1,因此F=ex=0。+xy1dNdx一1口犷(2+2xy)+/(2+2ry)P卩(2yM-2讪血一exp|f^7?<iu2+/>=expt-ln(x2+y2)]=-j o‘x+y对方程两边同乘pa』)二f(/+/)=1$曰」xdx+ydyydx-xdy八~2 2彳寻Rd兀+―;■_; 右=0口%+y x+y x+y所以原方程的解为*2+y-ln(x2+y2)+arctan-y=c(c为常数〉。4、 方程(1)有形如u[p(x)+f(x)g(y)+q(y)]的积分因子,充要条件:dM9N-Ff(x)g(y)+g(y〉]它的积分因子为:fi(z)=expF0(工)d#]-这里的0(z)是之=pS+/(jr)g(j)+q(y)、 方程(1)有形如u[f(x)g(y)+q(y)]的积分因子,充要条件:N[g(>)/(x)]-M:/(x)?(^)+977n=虬只刃以⑷它的积分因子为:严(工)=expCj^(^)ds~其中这里0(刃是工=f{^g(y)+q(y)的函数6、 方程(1)有形如''"'小「丨的积分因子,充要条件:dMdNNp,d—Mqf{y)+卩(釣)[$NhL1 — ]©[护(疋才)+p(x)+9(y)2其中沆心驀貨二疝*八-洪加+只:小堂丽裁p(^i)是盅1=尤"的函数7、方程(1)有形如"「卩〉十心门的积分因子,充要条件:3M3