(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型.docx

平面向量向量的基本概念与基本运算1向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:uuu uuuAB几何表示法AB,a;坐标表示法axiyj(x,y).向uuu量的大小即向量的模(长度),记作|AB|即向量的大小,记作丨a|,向量不能比较大小,:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行零向量a=0|a|=0由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别)单位向量:模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量 Ia01=(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量 .记作a// (即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为小相等,方向相同(x1,y1) (x2,y2)Xi*X22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuuruuur ruuuULUuuiu设ABa,BCb,贝Ua+b=ABBC=AC0aa0a;(2)向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” :用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则•向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:uu uur uuruuu uuu uuuAB BC CD LPQ QR AR,但这时必须“首尾相连”.3向量的减法相反向量:与a长度相等、方向相反的向量,叫做 a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有:(i) (a)=a;(ii)a+(a)=(a)+a=0;(iii)若a、b是互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0向量减法:向量a加上b的相反向量叫做a与b的差,记作:aba(b)求两个向量差的运算,叫做向量的减法作图法:ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积:①实数入与向量a的积是一个向量,记作入a,它的长度与方向规定如下:(I)aa;(n)当0时,入a的方向与a的方向相同;当 0时,入a的方向与a的方向相反;当 0时,a0,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理:向量b与非零向量a共线有且只有一个实数 ,使得b=a6平面向量的基本定理:如果e1,e>是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数!,2使:a 1巴 2e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:(1)向量的加法与减法是互逆运算相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 ir,j作为基底由平面向r j量的基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成axiyj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量首的坐标,记作a=(x,y),其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算:2)2yX2,rby1X1,y2y1卷X1y1X1>X2(3)若a=(x,y),贝Ura=(x,y)ra若rby1X1,X2,y2,则a〃bXiy X2yi 0ra若5)rby1X1>y2%X2捲rbra贝2yX2,r若ab,贝Vx1x2y1y2 03向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)(xx2,y%)abba的加(ab)ca(bc)法uuruuruurABBCAC向三角形法则rr量ab(x冷,%适)aba(b)的uuu uuu减AB BA法uuruur LuuOBOAAB向a是一个向量,a(x,