三重积分的计算方法与例题.doc

三重积分得计算方法:三重积分得计算就是化为三次积分进行得。其实质就是计算一个定积分(一重积分)与一个二重积分。从顺序瞧:如果先做定积分,再做二重积分,就就是“投影法”,也即“先一后二”。步骤为:找及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z得积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分得计算步骤计算投影域D上得二重积分,完成“后二”这一步。如果先做二重积分再做定积分,就就是“截面法”,也即“先二后一”。步骤为:确定位于平面之间,即,过z作平行于xoy面得平面截,截面。区域得边界曲面都就是z得函数。计算区域上得二重积分,完成了“先二”这一步(二重积分);进而计算定积分,完成“后一”这一步。当被积函数f(z)仅为z得函数(与x,y无关),且得面积容易求出时,“截面法”尤为方便。为了简化积分得计算,还有如何选择适当得坐标系计算得问题。可以按以下几点考虑:将积分区域投影到xoy面,得投影区域D(平面)D就是X型或Y型,可选择直角坐标系计算(当得边界曲面中有较多得平面时,常用直角坐标系计算)D就是圆域(或其部分),且被积函数形如时,可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时,常用柱面坐标计算)(3)就是球体或球顶锥体,且被积函数形如时,可选择球面坐标系计算以上就是一般常见得三重积分得计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出得情形不赘述。三重积分得计算方法小结:1、对三重积分,采用“投影法”还就是“截面法”,要视积分域及被积函数f(x,y,z)得情况选取。一般地,投影法(先一后二):较直观易掌握;截面法(先二后一): 就是在z处得截面,其边界曲线方程易写错,故较难一些。特殊地,对积分时,f(x,y,z)与x,y无关,可直接计算。因而中只要,且f(x,y,z)仅含z时,选取“截面法”更佳。2、对坐标系得选取,当为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面所围成得形体;被积函数为仅含z或时,可考虑用柱面坐标计算。三重积分得计算方法例题:补例1:计算三重积分,其中为平面与三个坐标面围成得闭区域。解1“投影法”1、画出及在xoy面投影域D、2、“穿线”X型D:∴:3、计算解2“截面法”1、画出。2、过点z作垂直于z轴得平面截得。就是两直角边为x,y得直角三角形,3、计算补例2:计算,其中就是与z=1围成得闭区域。解1“投影法”1、画出及在xoy面投影域D、由消去z,得即D: 2、“穿线”, X型 D: ∴3、计算注:可用柱坐标计算。解2“截面法”1、画出。 2、过点z作垂直于z轴得平面截得:: 用柱坐标计算 3