下载此文档

三重积分的计算方法与例题.docx


文档分类:高等教育 | 页数:约11页 举报非法文档有奖
1/11
下载提示
  • 1.该资料是网友上传的,本站提供全文预览,预览什么样,下载就什么样。
  • 2.下载该文档所得收入归上传者、原创者。
  • 3.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
1/11 下载此文档
文档列表 文档介绍
: .
重积分的计算方法:
三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定
积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看:
Z2
如果先做定积分f (x, y, z)dz,再做二重积分 F (x, y)d;「,就是“投
Zi D
影法”也即“先一后二”。步骤为:找0及在xoy面投影域D。多D
上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限,完成了“先一”这一步(定 积分);进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D上的二重积分,完
Z2
成“后二”这一步。 f(x,y, z)dv 二[f(x, y, z)dz]d;二
Q D zi
C2
如果先做二重积分 f(x,y,z)d匚再做定积分F (z)dz,就是“截面
Dz q
法”也即“先二后一”。步骤为:确定。位于平面z = s与z=C2之间,
即z・[d,C2],过z作平行于xoy面的平面截门,截面Dz。区域Dz的边
界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分i if(x, y,z)d;「,完成
Dz
C2
了“先二”这一步(二重积分);进而计算定积分 F(z)dz,完成“后
Ci
C2
一”这一步。ill f(x,y,z)dv = [ f(x, y,z)d;「]dz
Q Ci Dz
当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关),且Dz的面积匚⑵
容易求出时,“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算,还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑:将积分区域门投影到xoy面,得投影区域D(平 面)
(1) D是X型或丫型,可选择直角坐标系计算(当i■■的边界曲 面中有较多的平面时,常用直角坐标系计算)
(2) D是圆域(或其部分),且被积函数形如f(x2 y2), f(^)时,
x
可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时,常用 柱面坐标计算)
(3) 门是球体或球顶锥体,且被积函数形如 f(x2 y2 z2)时, 可选择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。对-向其它坐标
面投影或门不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结:
1. 对三重积分,采用“投影法”还是“截面法”,要视积分域「及被积函数f(x,y,z) 的情况选取。
一般地,投影法(先一后二):较直观易掌握;
截面法(先二后一):Dz是门在z处的截面,其边界曲线方 程易写错,故较难一些。
特殊地,对Dz积分时,f(x,y,z与x,y无关,可直接计算S°z。因而门中
只要z,[a,b],且f(x,y,z)仅含z时,选取“截面法”更佳。
2对坐标系的选取,当门为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲
面所围成的形体;被积函数为仅含 z或zf (x2 y2)时,可考虑用 柱面坐标计算。
重积分的计算方法例题:
x+y=l
x+y+z=l
补例1计算三重积分I : iilzdxdydz,其中门为平面x y z =1与三个坐标面 ri
x =0, y =0,z = 0围成的闭区域。
解1 “投影法” . 2. “穿线” 0乞z計-x-y
0 Ex 兰1
X型 D:
0兰y兰1 —x
0 _ x _1
f1 : 0 _ y _1 - x
0 _ z_1-x-y
1 1 -x 1 -x . y
I i n zdxdydz= jdx dy
Q 0 0
1 1 _x 1
zdz二 dx 1(1—x—y)2dy = 2 [(1 — x)2y — (1 — x)y2
0 0 2 2 0
1 3[
v]
1-x
0
dx
6。

24
1
1 3 . 1 3 2 3 1 4]1
(1 -x) dx [x x x x 】0
八 6 2 4
解2 “截面法” 。2. zf0,1]过点z作垂直于z轴的平面截。得Dz
Dz是两直角边为x,y的直角三角形,x=1 - z, y=1-z
3计算
1 1 1
I = JJJ zdxdydz = J[ JJzdxdy]dz = Jz[ JJdxdy]dz = JzSDzdz
Q 0 Dz 0 Dz 0
z)dz J (z-2z z)dz 二丄
2/ 24
补例2:计算hi . x2 y2dv,其中门是x2寸=£和z=1围成的闭区域
解1 “投影法”
.
r 2
z = x

三重积分的计算方法与例题 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.

非法内容举报中心
文档信息
  • 页数11
  • 收藏数0 收藏
  • 顶次数0
  • 上传人dlmus1
  • 文件大小123 KB
  • 时间2020-11-16
最近更新