归纳二重积分的计算方法.doc

归纳二重积分的计算方法摘要:本文总结出了求二重积分的几种方法,比如用定义、公式、定理、:函数极限;计算方法;洛必达法则;四则运算前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,,,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于的任意分割,当它的细度时,属于的所有积分和都有,则称在上可积,数称为函数在上的二重积分,记作,其中称为二重积分的被积函数,称为积分变量,,为常数,则在上也可积,,在上都可积,则在上也可积,,且与无公共内点,则在上也可积,,且对每个,积分存在,则累次积分也存在,,积分存在,,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的型\型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,,对一般区域二重积分的计算型区域:型区域:定理:若在区域上连续,其中,在上连续,则即二重积分可化为先对,,若区域为型,:设圆柱底面半径为,,,以四分之一圆域:为底的曲顶柱体,,一般常见的区域可分解为有限个型或型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,:设在有界闭域上可积,变换:,将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域,函数,在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式,,,,其中是由,,,令,.为此作变换:,,,和直线,,作变换:,.,,:设在有界闭域上可积,且在极坐标变换:,下,平面上有界闭区域与平面上区域对应,,或者被积函数的形式为时,:(i)若原点,且平面上射线常数与边界至多交与两点,则必可表示成,,于是有类似地,若平面上的圆常数与的边界多交于两点,则必可表示成,,所以.(ii)若原点为的内点,的边界的极坐标方程为,则可表示成,.所以.(iii)若原点在的边界上,则为,,于是例1计算,其中为圆域:.解利用极坐标变换,,在某些时候我们可以作广义极坐标变换::,,.如求椭球体的体积时,,二重积分在几何上就表示以为曲顶,,:,其中:.解因为被积函数,,,,它的边界曲线,且,当时,;当时,。设在上连续,且存在,使得,,在闭区域上连续,且有连续的一阶偏导数,则有这里为区域的边界线,:构造函数,使,但,在上应具有一阶连续偏导数;(2),是由椭圆,(利用变量代换)设为在第一象限,则解法二(利用格林公式)令,,则,. 若在区域内可积,且区域关于轴(或轴)对称,则二重积分满足下列性质:其中为区域被轴(或轴),\轴均对称性,,关于或既非奇函数,也非