基于偏微分的烤面包最优方案的分析.doc

基于偏微分的烤面包最优方案的分析.doc基于偏微分的烤面包最优方案的分析基丁偏微分的烤面包最优方案的分析【摘要】本文运用传热学的知识,利用偏微分方程对烤制面包容易烤糊这一现象进行解释。首先对不同形状而包外边缘进行热分布的分析,然后通过目标规划求出理论上烤制面包的最佳形状。建立二维热分布方程用于描述面包在烤炉内的受热情况。通过niatlab的pde工具箱,即可利用数值方法求出出而包截而的热量分布。通过对采样点的分析,建立一个相同条件下不同形状面包边缘平均受热情况的指标。而根据不同烤箱的实际尺寸,可灵活选择烤制面包的形状。【关键词】偏微分方程烤面包1引言越来越多的人们喜欢自己在家中烤面包,但是烤面包还是个技术活。与普通微波炉加热食物不同,微波加热是利用空气分子的震动,由内而外地加热食物,而烤箱则是由内壁的烤管发出热量,由外及内地进行加热。运用传热学的知识可以这样解释,来自于炉管的热量通过热辐射的形式,首先抵达面包的外表面。面包外表面会持续升温,与面包内部产生温度差,然后热量再从面包的表面以热传导的方式,传递到面包内部,从而实现烘烤的目的。也就是说,烤箱模拟了古代用柴火进行烧烤的原理,只不过古时候的柴火替换成了烤箱内部的炉管。而现代的烤箱也基本上实现了均匀加热,温度控制等功能。对于大型工业烤箱,温控还是很稳定的。但是对于家用的小型烤箱,这些功能很不稳定,这是由烤箱的规模决定的。温度耍加热多少,何时放入面包,何时取出面包,都是需耍注意的,也是有技巧的。可惜的是目前还没有一个现代家用烤箱可以做到“一站式”的功能。因此一不留神,就容易把面包烤糊。本文不打算介绍烤制可口面包的攻略,而是科学地分析,为什么面包会被烤糊,并在理论上给出一些建议。2二维热传导方程我们知道,炉管是烤箱中唯一的热源,工作时同时存在热辐射、热对流和热传导。面包表面通过热辐射或热对流得到热量,面包内部通过热传导得到热量。计算时我们把这些过程分开计算但事实上共存的。然后建立二维热传导方程。热传导的偏微分方程模型。根据热传导的傅里叶定律,热量通过某一物质的时间变化率与面积和温度的梯度成比例,即:表示热通量,表示温度,表示热传导率。根据热传导的傅里叶定律和能量守恒定律,可以得到热传导的偏微分方程:表示物质的密度,表示时间,表示内部的热源。实际上,通过把立体的面包的热分布分析转化为对二维的截面进行分析,可以简化求解。而内热源不存在,故上式可化为:这里表示热扩散系数求解方程,必须知道初始条件和边界条件。根据文献[1],有Dirichlet边界条件,Neumann边界条件和Robin边界条件。但这里还有一个辐射边界条件。假设截面边缘是在热辐射的直接影响下,不收热对流的影响。当,表示环境的温度,既可以得到辐射的边界条件:这里,是发射率,是Stefan-Boltzmann常量,是热源温度也是常数。3方程的求解根据热传导方程,初始条件和边界条件,我们首先尝试求解析解。但由于其复杂性很难得出计算结果。故我们采用数值方法。Matlab的pde工具箱是求解偏微分方程的一个工具。里面提供了不同边界条件下的标准热传导方程。通过选择合适的方程,数值解很容易得到,原始方程如下:这里,表示密度,表示比热容,表示热传导系数,表示热源,是对流系数,表示外部温度。通过初始化参数和设置编辑条件,可以得到不同横截面形状下的热分布图。根据下图所示,我们可以发现,无论截面形状如何,