哈工大-数值分析上机实验报告.doc

实验报告一题目:非线性程求解摘要:非线性程的解析解通常很难给出, 因此线性程的数值解法就尤为重要。 本实验采用两种常见的求解法二分法和 Newton法及改进的Newton法。前言:(目的和意义)掌握二分法与 Newton法的基本原理和应用。数学原理:*对于一个非线性程的数值解法很多。 在此介绍两种最常见的法:二分法和Newton法。对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的程 f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,且f(x)在[a,b]仅有一个实根 x,取区间中点 c,若,则c恰为其根,否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间 [a,c]和[c,b]中的哪一个,从而得出新区间,仍称为 [a,b]。重复运行计算,直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。Newton法通常预先要给出一个猜测初值 x0,然后根据其迭代公式x x f(xk)k1 k 'kf(x)* *产生逼近解x的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当 x0接近x时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为xk1xk rf(xk)'f(xk)其中r为要求的程的根的重数,这就是改进的 Newton法,当求解已知重数的程的根时,在同种条件下其收敛速度要比 Newton法快的多。程序设计:本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的程写成 function的式,如下functiony=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可,下面给出主程序。二分法源程序:clear%%给%定求解区间b=;a=0;%%误%差R=1;k=0;%迭代次数初值while(R>5e-6);c=(a+b)/2;iff12(a)*f12(c)>0;a=c;elseendb=c;R=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序:clear%%%%输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%求%解f(x)的导数df=diff(f);%%改%进常数或重根数miu=2;%%初%始值x0x0=input('inputinitialvaluex0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0),以确定初值x0时否就是解while(abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if(eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendifk>max;%如果迭代次数大于给定值,认为迭代不收敛,重新输入初值ss=input('mayberesultiserror,chooseanewx0,y/n?>>','s');ifstrcmp(ss,'y')x0=input('inputinitialvaluex0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0;%给出解结果分析和讨论:1. 用二分法计算程sinxx20在[1,2]的根。(5*106,下同)2计算结果为x=;f(x)=--007;k=18;由f(x)知结果满足要求,但迭代次数比较多,法收敛速度比较慢。用二分法计算程计算结果为x=;x3 x 10在[1,]的根。f(x)=-006;k=17;由f(x)知结果满足要求,但迭代次数还是比较多。用Newton法求解下列程xa) xe 1 0 x0=;计算结果为x=;f(x)=-016;k=4;由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有 4次看出收敛速度很快。b) x3 x 1 0 x0=1;c) (x1)2(2x 1) 0x0=,x0=;当x0=,计算结果为x=;f(x)=--014;k=4;由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有 4次看出收敛速度很快,实际上该程确实有真解x=。当x0=,计算结果为x=;f(x)=0;k=9;由f(x)知结果满足要求,实际上该程确实有真解 x=,但迭代次数增多,实际上当取 x0〉,x≈1,就变成了程的另一个解,这说明 Newton法收敛与初值很有关系,有的时候甚至可能不收敛。用改进的Newton法求解,有2重根,取 2(x 1)2(2x 1) 0x0=;)比较结果。当x0=,程序死循环,无法计算,也就是说不收敛。改x=