哈工大-数值分析上机实验报告.doc

实验报告一
题目： 非线性方程求解
摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：（目的和意义）
掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：
对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式
产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为
其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：
本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下
function y=f(x);
y=-x*x-sin(x);
写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：
clc
clear
%%%给定求解区间
a=1;
b=2;
%%%误差
R=1;
k=0;%迭代次数初值
while (abs(R))>5e-6) ;
c=(a+b)/2;
if f(a)*f(c)>0;
a=c;
else
b=c;
end
R=b-a;%求出误差
k=k+1;
end
fprintf('二分法求解的根x=%f \n迭代次数k=%d \n误差R=%f',c,k,R);
Newton法及改进的Newton法源程序：
clc
clear
%%%% 输入函数
f=input('请输入需要求解函数>>','s')
%%%求解f(x)的导数
df=diff(f);
%%%改进常数
miu=1;
%%%初始值x0
x0=input('input initial value x0>>');
k=0;%迭代次数
max=100;%最大迭代次数
R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解
while (abs(R)>1e-8)
x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));
R=x1-x0;
x0=x1;
k=k+1;
if (abs(eval(subs(f,'x0','x')))<1e-10);
break
end
if k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值
ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');
if strcmp(ss,'y')
x0=input('input initial value x0>>');
k=0;
else
break
end
end
end
fprintf('牛顿法求得的根x=%.15d \n迭代次数k=%d \n误差R=%.15f',x0,k,R);
结果分析和讨论：
用二分法计算方程在[1，2]内的根。(,下同)
计算结果为
二分法求解的根x= ；
误差R=0.；
迭代次数k=18；
由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。
用二分法计算方程在[1，]内的根。
计算结果为
x= ；
f(x)= -006；
k=17；
由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。
用Newton法求解下列方程
x0=；
计算结果为
x= ；
f(x)= -016；
k=4；
由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快