高等数学有关概念.doc

高等数学有关概念、公式与习题教学一得

王恒友(山东省胶州市实验中学 266300)
提要:深入剖析函数概念和相关公式的内涵,降低很大一部分习题教学的难度,并渗透一些重要的基本数学思想。
关键词: 函数概念公式结构极限导数积分数学思想
分类号: O13
在多年的成人高等数学辅导教学实践中不断思考探索,发现深刻理解函数的概念,把握数学思想,对于灵活掌握大量的数学公式及其应用可以起到触类旁通的作用,下面分别进行论述并举例分析。
一,对函数概念的理解。
(一),函数
函数是数学中非常重要的一个概念,理解这个概念应特别注意把握以下几点:
1、函数的两个基本要素是定义域和对应法则,只要这两个要素相同就是相同的函数,而与自变量、因变量分别用什么字母表示无关。
2、函数对应法则一般用“f”表示,其中字母“f”也可以换用其他字母表示,如 g,F,φ,Φ,等,但用不同字母表示的通常是不同的函数。
3、函数表达式“y=f(x)”中的核心是“f( )”,它表示了函数式的基本结构,一旦函数确定,它就是不容更改的,字母“x”和“y”在一定条件下则是可变换的。
“x”的这种变化可以说是奇妙无穷,涵义深远,而高等数学研究的就是变量的变化规律,所以本文主要就是围绕着“x”的这些变化展开的。
4、函数的记号“y=f(x)”的意义可以理解为:对于一个由对应法则“f( )”确定的函数,如果给定其自变量为“x”,就可得到因变量的值,亦即函数值“y”;每给定一个不同的“x”值,就有一个不同的函数值“y”与其对应,“x”可以遍取自变量范围内的任意值。也有人把“f( )”比喻成一台“机器”,输入不同的原料“x”,就可得到相应的产品“y”,机器不变,原料和产品则可能千变万化。
(二),复合函数
在函数表达式“y=f(x)”中,自变量“x”的取值不仅可以是数字,也可以是代表具体数值的字母,甚至可以是一个符合条件的表达式。一旦“x”所代表的变量换成为另外一个符合条件的函数式,就会得到一个复合函数。这样就把复合函数统一到了函数概念当中。认识到这点对于后面学习掌握复合函数求导法和凑微分法求积分是非常有帮助的。
这点可以通过求函数值的练习时让自变量分别取常数、字母和代数式来潜移默化地让学生认识和理解。把几个函数基本初等函数复合成复合函数、把复合函数分解为简单的基本初等函数的练习也有助于学生深入理解函数和复合函数的概念及二者间的关系。
(三),导函数和变限积分函数
这两个概念与前述的函数概念也没有本质区别,其中导函数只是与自变量对应的因变量变成某个函数的导数值而已。而变限积分函数则是自变量变为定积分的上下限,而函数值是一些定积分值,即极限值。因此它们也都可以统一到函数的概念之中。
有了这些理解,二阶和高阶导数的定义、计算以及其他相关问题也就可以迎刃而解。比如二阶导数,从求导的角度看,实际上就是被求导的函数变成某一个函数的导函数而已,这与复合函数是自变量变成另外一个函数式如出一辙。
(四)反函数及其图像
反函数是由于自变量与因变量的相对性而引入的,体现了变量“x”的另一种特殊变化。本来函数y=f(x)的反函数应该是x=f -1(y),但因为通常大家都习惯于用“x”表示自变量,用“y表”示因变量,而函数是否相同与自变量、因变量分别用什么字母表示无关,所以才写为y=f