单因素方差分析的计算步骤..docx

一、单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素(因子) A ,且 A 有 m 个水平,分别记为 A , A ,L A , 在1 2 m每一种水平下,做 n 次实验,在每一次试验后可得一实验值,记做 x 表示在第 j 个水平下iji的第 i 个试验值 ( = 1,2,Ln; j = 1,2,Lm) 。结果如下表 :表  单因素方差分析数据结构表观测值 水平A1A2KKAm1x11x12KKx1m2x22x22KKx2mMMMMnxn1xn2KKxnm为了考察因素 A 对实验结果是否有显著性影响,我们把因素 A 的 m 个水平 A , A ,L A 看1 2 mi成是 m 个正态总体,而 x ( = 1,2,Ln; j = 1,2,Lm)看成是取自第 j 总体的第 i 个样品,因ij(此,可设 x ~ N a ,sij j2,)i = 1,2,Ln; j = 1,2,Lm 。可以认为 a = m + e , e 是因素 A 的第 j 个水平 A 所引起的差异。因此检验因素 A 的j j j j各水平之间是否有显著的差异,就相当于检验:H : a = a = L = a = m 或者0 1 2 mH : e = e = L = e = 00 1 2 m具体的分析检验步骤是:(一) 计算水平均值令 x 表示第 j 种水平的样本均值,jåjx =jni=1nxjij式中, x 是第 j 种水平下的第 i 个观察值, n 表示第 j 种水平的观察值次数ij j(二)计算离差平方和在单因素方差分析中,离差平方和有三个,它们分别是总离差平方和,组内离差平方和以及组间平方和。首先,总离差平方和,用 SST 代表,则,SST = åå ( x - x) 2ij其中 x =åå   xn ij , 它反映了离差平方和的总体情况。SSE = å êå x   - x 2 úë   i        û(x  - x ) = å n (x  - x)SSA = åå其次,组内离差平方和,用 SSE 表示,其计算公式为:é ( ) ùij jj其中 x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况,即反映了随机因素带来的影响。j最后,组间平方和,用 SSA 表示, SSA 的计算公式为:2 2j j j用各组均值减去总均值的离差的平方,乘以各组观察值个数,然后加总,即得到 SSA 。可以看出,它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素,也包括系统因素。根据证明, SST , SSE , SSA 之间存在着一定的联系,这种联系表现在:SST = SSE + SSA(x   - x) = åå [(x  )x- ])+ (xåå- x) + åå (  - x) + 2åå (x= åå  x( 2- x因为:ij ij j jij j j2 22ij- xj)x(j- x)在各组同为正态分布,等方差的条件下,等式右边最后一项为零,故有,åå ( xij- x) 2 = åå ( x - x ) 2 + åå ( x - x) 2ij j j即 SST = SSE + SSA(三)计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST 来说,其自由度为 n - 1 ,因为它