处理一元二次方程根的分布问题的一般方法.doc

数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法设f(x)=a+bx+c(a≠0),则f(x)=0即一元二次方程的实根分布问题,可依照三个二次间的关系按下述步骤解决:⑴画出符合题设要求(即f(x)=0的实根分布情形)的所有不同类型的抛物线;⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化为相应的不等式组(分别从开口方向,与x轴的交点,对称轴,端点与特殊点位置等角度综合考虑);⑶简化上述不等式组并求解,以得到原问题的解答。附:有关二次方程a+bx+c=0(a≠0)实根分布问题的数与形对应结论(设f(x)=a+bx+c)设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0,一个大于0大致图象a>0a<0得出的结论表二:(两根与的大小比较)分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于,一个大于即大致图象()得出的结论大致图象()得出的结论综合结论(不讨论)表三:(根在区间上的分布)分布情况两根都在内仅一根在内(另一根不为m,n)两根分别与内,两根分别在区间外大致图象()得出的结论大致图象()得出的结论综合结论(不讨论)m对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根,因为,所以,另一根为,由得即为所求;方程有且只有一解,且这个解在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:①由即得出;②由即得出或,当时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;综上分析,得出或例1、已知二次方程有一正根和一负根,求的取值范围。解:由即,从而得即为所求的范围。例2已知实数、、满足,:,则有:即,求得,、.若抛物线与线段(不包括端点及)有两个不同的交点,则的取值范围是(1997上海