空间向量知识点总结.docx

⑴•直线的方向向量:uuu uuu若A、B是直线l上的任意两点,则AB为直线I的一个方向向量;与AB平行的任意非零向量也是直线I的方向向量.⑵.平面的法向量:r r r若向量n所在直线垂直于平面 ,则称这个向量垂直于平面,记作n ,如果n那么向量n叫做平面的法向量.⑶.平面的法向量的求法(待定系数法)①建立适当的坐标系.②设平面的法向量为n(x,y,z).③求出平面内两个不共线向量的坐标r ira(ai,a2,a3),b(bi,b2,b3)•④根据法向量定义建立方程组 ?n⑤解方程组,取其中一组解,即得平面的法向量•(如图)用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行rr rr设直线Ii,l2的方向向量分别是a、b,则要证明li//I2,只需证明a//b,即akb(kR).即:两直线平行或重合=:两直线的方向向量共线。⑵线面平行(法一)设直线i的方向向量是a,平面的法向量是u,则要证明I/ ,只需证明rrrrau,:直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可⑶面面平行若平面的法向量为u,平面的法向量为v,要证〃,只需证u〃v,:两平面平行或重合=两平面的法向量共线。用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直rr rrrr设直线li,l2的方向向量分别是a、b,则要证明liI2,只需证明ab,:两直线垂直~:两直线的方向向量垂直。⑵线面垂直(法一)设直线i的方向向量是a,平面的法向量是u,则要证明I,只需证明rr r ra//u,即a itur(法二)设直线I的方向向量是a,平面内的两个相交向量分别为m、n,若ritam0…rr,则Ian0即:直线与平面垂直’=:直线的方向向量与平面的法向量共线 =:直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直r r rr若平面的法向量为U,平面的法向量为V,要证 ,只需证uV,:两平面垂直 两平面的法向量垂直。利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,a,b所成的角为, uult11uuut•ac||bd⑵求直线和平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一r r r求法:设直线I的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为 ,a与U的夹角为,贝U为的余角或的补角L ・\//A03 f的余角•即有:sincos|面角的平面角是指在二面角l 的平面角②求法:设二面角丨 的两个半平面的法向量分别为m、n,再设m、,则二面角为m、n的夹角 或其补角⑶求二面角①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面,l的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作射根据具体图形确定 是锐角或是钝角:■errmn♦如果是锐角,则coscos|kn-osjr;mn♦如果是钝角,则coscos|os利用法向量求空间距