初二数学实数思维导图.doc

初二数学实数思维导图数学思维导图可以有意识地培养学生的思维外显能力。下面我精心整理了,供大家参考,希望你们喜欢!汇总实数的完备有序域实数集合通常被描述为"完备的有序域",这可以几种解释。首先,有序域可以是完备格。然而,很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对任意元素,将更大)。所以,这里的"完备"不是完备格的意思。另外,有序域满足戴德金完备性,这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的"完备"是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法,即从(有理数)有序域出发,通过标准的方法建立戴德金完备性。这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而,有序群(域是种特殊的群)可以定义一致空间,而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采用一致空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。)当然,并不是唯一的一致完备的有序域,但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上,"完备的阿基米德域"比"完备的有序域"更常见。可以证明,任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法,即从(有理数)阿基米德域出发,通过标准的方法建立一致完备性。"完备的阿基米德域"最早是由希尔伯特提出来的,他还想表达一些不同于上述的意思。他认为,实数构成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是的子域。这样是"完备的"是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法,即从某个包含所有(超实数)有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域。实数的基本定理实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理,这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则,共7个定理,它们彼此等价,以不同的形式刻画了实数的连续性,它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具,在微积分学的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立,只能说明它们同时成立或同时不成立,这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而说明它们同时都成立,引进方式主要是承认戴德金公理,然后证明这7个基本定理与之等价,以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现,但这7个定理是教学中常见的基本定理。一、上(下)确界原理非空有上(下)界数集必有上(下)确界。二、单调有界定理单调有界数列必有极限。具体来说:单调增(减)有上(下)界数列必收敛。三、闭区间套定理(柯西-康托尔定理)对于任何闭区间套,必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零,则该点是唯一公共点。四、有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格定理,海涅-波雷尔定理)闭区间上的任意开覆盖,必有有限子覆盖。或者说:闭区间上的任意一个开覆盖,必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。五、极限点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理)有界无限点集必有聚点。或者说:每个无穷有界集至少有一个极限点。六、有界闭区间的序列紧性(致密性定理)有界数列必有收