2021年高等代数矩阵的相抵合同相似.doc

莆田学院数学系“高等代数选讲”课程论文题目:矩阵相抵、协议、相同部分相关这三种等价关系联络、差异和不变量姓名:阮超英学号:21041132数学系级本科(1)班年6月23日矩阵相抵、协议、相同部分相关这三种等价关系联络、差异和不变量[摘要]矩阵相抵、协议、相同这三种等价关系之间既包含着联络,又蕴涵着差异,和矩阵在各自关系下不变量。[关键词]相抵;协议;相同;等价关系;不变量首先介绍矩阵相抵、协议及相同概念引入及其定义和等价关系证实。,故先了解一下初等变换下初等矩阵。定义1由单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵。显然,初等矩阵是方阵,每个初等变换全部有一个和之对应初等矩阵。交换矩阵行和行位置把矩阵行乘以一非零数(为数域中数)把矩阵行倍加到行,有一样能够得到和列变换对应初等矩阵,不难看出,初等矩阵是可逆,且逆矩阵还是初等矩阵。定义2矩阵和相抵(记为或称为等价)是指对进行行和列有限次初等变换后可得到,亦即存在初等矩阵显然,矩阵相抵是一个等价关系,它满足对称性若和相抵,则和相抵;因为由定义2,有:,这么可得到:反身性若和本身相抵;因为:传输性若和相抵,和相抵,则和相抵。因为:故:而矩阵相抵一个关键方面就是矩阵相抵。多项式,以下三种变换称为正确“初等行变换”:;。类似能够定义列初等变换。定义3若,全部是矩阵且经过初等变换后可变为,则称矩阵和相抵。和数字矩阵一样,矩阵相抵关系是一个等价关系。即<1>和本身相抵;<2>若和相抵,则和相抵;<3>若和相抵,和相抵,则和相抵。矩阵协议经过一个非退化线性替换,,替换后二次型和原来二次型之间有什么关系,即找出替换后二次型矩阵和原二次型矩阵之间关系。设:〈1〉是一个二次型,作非退化线性替换〈2〉我们得到一个二次型现在来看矩阵和关系把〈2〉带入〈1〉,有易看出矩阵也是对称,实际上由此,即得这就是前后两个二次型矩阵关系,和之对应,我们引入定义4数域上矩阵成为协议,假如有数域上可逆矩阵,使。协议是矩阵之间一个关系,不难看出协议关系含有<1>反身性<2>对称性由即得<3>传输性因之,协议是一个矩阵之间等价关系,而且经过非退化线性替换,新二次型矩阵和原二次型矩阵是协议。:定理1设线性空间中线性变换在两组基〈3〉〈4〉下矩阵分别为从基〈3〉到〈4〉过渡矩阵是,于是证实:已知于是由此即得由此我们引进相同定义定义5设,为数域上两个级方阵,假如能够找到数域上级可逆矩阵,使得,就说相同于。记作。相同是矩阵之间一个关系,这种关系含有下面三个性质:<1>反身性,这是因为<2>对称性假如,那么。假如,那么有X使,令,就有所以。<3>传输性假如,,那么。已知有,使令就有2部分相关矩阵相抵、协议、相同充要条件及其证实定理2矩阵和相抵当且仅当二者行列式因子组相同或不变因子组相同。证实:我们只需证行列式因子在任意一个初等变换下不变就能够了。对第一个初等变换,变换矩阵任两行,显然阶子式最多改变一个符号,所以行列式因子不变。对第二种初等变换,阶子式和变换后矩阵阶子式最多差一个非零常数,所以行列式因子也不改变。对第三种初等变换,记变换后矩阵为,则和阶子式可能出现以下3种情形:子式完全相同;子式中一行(或一列)等于中对应子式同一行(列)加上该子式中某一行(列)和某个多项式之积;子式某一行(或列)等于中对应子式同一行(列)加上不在该子式中某一行和某一个多项式之积。在前面两种情形,行列式值不变,所以不影响行列式因子,现在来讨论第三种情形。设为阶子式,对应阶子式记为,则由行列式性质得其中由行和列组成,所以它和阶子式最多差一个符号。是乘以某一行那个多项式,于是行列式因子|,|,故|,这说明可整除全部阶子式,所以可整除阶行列式因子。但也可用第三种初等变换变成,于是|,因为及全部是首一多项式,所以必有。证毕定理3两个复数对称矩阵协议充要条件是它们秩相同。证实:因为任意一个复系数二次型经过一合适非退化线性替换能够变成规范形,且规范形是唯一。换个说法既是,任一复数对称矩阵协议于一个形式为对角阵,从而有,两个复数对称矩阵协议充足必需条件是它们秩相同。定理4数域上阶矩阵,则和相同充要条件是它们特征矩阵和含有相同行列式因子或不变因子。证实:显然不变因子被行列式因子唯一确定,反之,行列式因子也被不变因子唯一确定,由定理2及定理:“设,是数域上矩阵,则和相同充要条件是矩阵和相抵”证毕3基于上述多个定理,深入探讨矩阵相抵、协议、相同之间部分联络及差异。(1)为了把数域上矩阵相同关系归结为矩阵相抵关系,先介绍一个定理。定理5设,是数域上矩阵,则和相同充足必需条件是矩阵和相抵。证实:若和相同,则存