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总 38 卷第 4 期数学研究 V ol. 38 N o. 4
2005 年 12 月 Journal of M athematical Study D ec. 2005
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完备随机内积模上稠定模同态的共轭算子
郭铁信孟永森
(厦门大学数学科学院, 福建厦门 361005)
摘要对定义在完备随机内积模的稠子模上的模同态引入了共轭算子的概念并讨论其基本
性质, 尤其证明了共轭算子的闭性.
关键词完备随机内积模; 稠定的模同态; 共轭算子
中图分类号 O 177. 3+ 9 文献标识码 A
1 引言及预备知识
随机度量空间(R andom M etric Spaces, 简记为 RM - 空间) 及随机赋范空间(R andom
N ormed Spaces, 简记为 RN - 空间) 的原始定义首先形成于文献[ 1, 第九章及第十五章], 基本
思想是认为两点之间的距离(相应地, 空间一向量的范数) 是一非负随机变量. 沿着同样的思
路, 文[2 ]提出了随机内积空间(R andom Inner P roduct Spaces, 简记为 R IP - 空间) 并证明了
Schw artz 不等式. 在[ 2 ]的基础上, 文[ 3 ]进一步考虑了完备强 R IP- 空间上的 R iesz 表示定
理. 由于 R IP- 空间与通常内积空间有着本质的差别, 将经典的理论推广到 R IP- 空间中去常
常会遇到许多实质性的困难, 比如, 文[3 ]提出了强随机内积空间, 同时要求所要表示的几乎处
处有界的随机线性泛函具有闭值域时才有所谓的 R iesz 表示型定理, 这在应用上极不方便, 文
[ 4, 5 ]首次证明了完备随机内积模上的 R iesz 表示定理, 重要的是去掉了文[ 3 ]中关于闭值域
的多余假设, 从而为随机内积模的研究工作提供了有力的工具. 本文正是利用这个工具结合
随机内积模良好的结构, 对完备随机内积模上的共轭算子作了若干基本的讨论.
在沿着传统泛函分析的格局发展随机度量理论及其应用的过程中, 随机度量理论中原始
的基本定义所呈现出的不便日渐显露. 1999 年, 本文第一作者在文[ 4 ]中重新定义了随机度
量空间, 随机赋范空间及随机内积空间, 尤其首次提出了随机赋范模(R andom N ormed
modules, 简记为 RN - 模) 及随机内积模(R andom Inner P roduct modules, 简记为 R IP- 模) , 在
此基础上提出了随机共轭空间(R andom Conjugate Spaces) 的最终定义, 这个最终定义不仅使
过去关于随机共轭空间的工作有了更清晰且合理的解释, 也为随机共轭空间理论的进一步发
展奠定了基础, 关于随机度量理论最近的全面进展, 见文[6, 7 ], 关于随机共轭空间理论的形成
收稿日期: 2005- 03- 08
基金项目: 国家自然科学基金(10471115)
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