高中数学竞赛知识点.pptx

高中数学竞赛知识点.pptx学 海 无 涯
数学
均值不等式
被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何
平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：
，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式
（当 r 不等于 0 时）；
（当 r=0 时），
设函数
有 时， 。
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即
。
特例
⑴对实数 a,b，有
（当且仅当 a=b 时取“=”号），
（当且仅
当 a=-b 时取“=”号）
⑵对非负实数 a,b，有
，即
⑶对非负实数 a,b，有
⑷对实数 a,b，有
⑸对非负实数 a,b，有
⑹对实数 a,b，有
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⑺对实数 a,b,c，有
⑻对非负数 a,b，有
⑼对非负数 a,b,c，有
在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM 不等式）：
当 n=2 时，上式即：
当且仅当
时，等号成立。
。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即
排序不等式
基本形式：
排序不等式的证明
要证
只需证
根据基本不等式
只需证
∴原结论正确
棣莫弗定理
设两个复数（用三角形式表示）
，则：
复数乘方公式：.
圆排列
定义
从 n 个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这 n 个不同 元素的圆排列。如果一个 m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相 同。
计算公式
n 个不同元素的m-圆排列个数N 为：
特别地，当m=n 时，n 个不同元素作成的圆排列总数N 为：
。
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费马小定理
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如 p 是质数，且 (a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a 是整数，p 是质数，且 a,p 互质(即两者只 有一个公约数 1)，那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。
组合恒等式
组合数 C(k,n)的定义：从 n 个不同元素中选取 k 个进行组合的个数。 基本的组合恒等式
nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
∑C(i,n)=2^n
∑[(-1)^i]*C(i,n)=0
C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)
C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=
C(p,m+n)
韦达定理
逆定理
如果两数α 和β 满足如下关系：α+β= ，α·β= ，那么这两个数α 和β 是方程
的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用