数学中的逐步逼近法.ppt

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在科学领域里用逐步逼近法处理问题是极
为广泛的。在物理、化学、生物诸多实验中
寻找某一反应现象的最佳状态条件时,往往用
到逐步逼近法
数学中的逐步逼近法是这样一种方法,为
了解决一个数学问题,首先从与该问题的实质
内容有着本质联系的某些容易着手的条件或某
些减弱的条件出发,再逐步地扩大(或缩小)
范围,逐步逼近,以至最后达到问题所要求的
解。
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逐步逼近法在解决问题的过程中,使后
步比前一步更接近探索目标,其一般有三种结
果:(1)通过有限步逐步逼近最终达到目标;
(2)通过无限逼近的极限,最终达到目标;
(3)不能最终达到目标,但可以通过多次的
逼近,取得对目标的接近而达到一定的要求。
逐步逼近法也是一种化归方法。基本上可
分为两类:一类是问题序列的逐步逼近法,另
类是问题解序列逐步逼近法
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哥德巴赫猜想提出已有两个多世纪,200多年
来,中外许多数学家为它绞尽脑汁,这个问题迄今
仍未得到彻底解决,但是围绕这个猜想所作的研究,
却积累了相当多的资料与成果,特别近半个世纪以
来,进展迅速,成绩显著,达到了非常精深的境界
在这些成绩中,包括陈景润,王元等在内的我国数
论学派占世界领先地位。
从哥德巴赫猜想的论证过程来看,就是一个运
用问题序列的逐步逼近法的典型例子
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为了叙述方便,先引入一个概念和两个符号。
如果对于一个固定的整数n>0,当自然数m的素因数不
超过n个时,称m为素因数不超过n个的殆素数。例如,
15=3×5,21=3×7都是不超过2的殆素数;30是素因数不
超过3的殆素数。
如果对于每个充分大的偶数都可表示为两个素因数分别
不超过a与b的殆素数之和时,记为a+b
如果对于每一个充分大的偶数都可表示为一个素数与
个素因数不超过c的殆素数之和时,记为(1+c)。
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令对于哥德巴赫猜想,直接证明(1+1)很难,人们就
去考虑证明(a+b)
自从1920年,挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明
了(9+9)之后,经过三十七年的努力,数学家不断改进其
结果,在1957年,我国数学家王元证明了(2+3),将
(9+9)推进到了(2+3),但最终目标是(1+1),毕竟是
接近了些。但是上述的所有结果都有一个共同的不足之处
即只是把每一个充分大的偶数表示为两殆素数之和(其中的
两个数还没有一个可以肯定为素数)
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1948年,匈牙利数学家兰恩依证明了(1+6)
1962年,我国数学家潘承洞证明了(1+5),
同年,潘承洞和王元又证明了(1+4)
1965年,布赫斯塔勃、维诺格拉托夫和意大利
数学家庞皮艾黎证明了(1+3)
1966年,我国数学家陈景润证明了(1+2),
这是至今距离(1+1)最近的优秀成果
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下面我们再通过几个具体例子来说明逐步逼近
法的运用。
例1、一个定义在有理数数集上的实值函数f,
对一切有理数x和y,都有
f(x+y)=f(x)+f(y
求证:对一切有理数都有f(x)=kx其中k为实
常数。
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证明:究竟k是什么数?不妨从x=0,1,2
等考察。在等式
f(x+y)=f(x)+f(y)
中,令x=y=1,就有
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)
若取x=y=0,就有
f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),即f(0)=f(1)0
这使我们猜测=f(1)即对一切有理数x,有
f(x)=f(1)x
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(1)先考虑x为任意整数的情形
若x为正整数n,则当n=1时,有f(1)=f(1)
假设当n=k时,有(k)=f(1)k
那么当n=k+1时,就有(k+1)=f(k)+f(1)=f(1)(k+1
即对一切正整数n都有f(m)=f(1)n
又由0=f(O)=f(n+(-m)=f(m)+f(-n)知
f(-m)=-f(m)=f(1)(-n)
从而对一切整数x,都有(x)=f(1)x
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(2)再考虑为整数的倒数的情形。
假设n为正整数。反复运用等式
f(x+y)=f(x)+f(y)
n-n(
可得f()=f|2}=f|1+f(
2 f