法向量求二面角-空间向量.ppt

平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
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精选课件
(一)平面的法向量的定义：
n
如果n,那么向量n叫做平面的法向量

2
精选课件
1、利用平面法向量求直线与平面所成的角：
直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余角。
（二）平面法向量的应用
如图：直线AB与平面所成的角 = 
( =<BA , n > )
2



A
B
C
n
例
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精选课件
2、利用平面法向量求二面角的大小
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小


m
n
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
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精选课件
2、利用平面法向量求二面角的大小
如图：二面角的大小等于<m ,n>


m
n
指入、指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。
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精选课件
例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小
A
D1
C1
B1
A1
N
M
F
E
D
C
B
(2)
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精选课件
A
D1
C1
B1
A1
N
M
F
E
D
C
B
x
y
z
解：（1）建系如图所示，设正方体棱长为2,则M（0，1，2）F（1，2，0） E（2，1，2） N（1，2，2） 则MF=（1,1，-2） NF=（0，0，-2） EF=（-1，1，-2），设平面ENF的法向量为n=(x,y,z),
EFn=0
NFn=0
{
-x+y-2z=0
-2z=0
则{
{
x=y
z=0
令x=y=1,则n=(1,1,0)
2
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精选课件
A
D1
C1
B1
A1
N
M
F
E
D
C
B
x
y
z
解：（2）建系如图，由（1）得：面ENF的法向量为 n=（1，1，0），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2） 设面EMF的法向量为m=（x,y,z) ，则
{
=0
EFm=0
{
x+y-2z=0
-x+y-2z=0
{
x=0
y=2z
令z=1,则m=(0,2,1) cos<m,n>=10/5 由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的大小为arccos(10/5)
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精选课件
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2，原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0）点D在平面yoz上，且BDC=90º，DCB=30º,求二面角D-BA-C的大小
A
O
z
y
x
D
C
B
(0,-1,0)
(1,1,0)
(0,1,0)
E
30º
(0,-1/2,3/2)
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精选课件
解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0），又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又BC=2，  ACB=90º，又BCD=30º，BDC=90º，故BD=1，CD=3，由D点向BC作垂线DE，则DE=3/2，OE=1/2，得D（0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2),面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的法向量为n=(23,-3,1)
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4)
二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
例
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