圆的知识点总结大全.docx

点在圆内 d<r 点C在圆内
点在圆上 d=r 点B在圆上
点在此圆外 d>r 点A在圆外
圆的知识点总结
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：
1至庞点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、 到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
3、 至蛹两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、 到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条 直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 一条直线 点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系：
直线与圆相离 d>r 无交点
直线与圆相切 d=r 有一个交点
直线与圆相交
d<r 有两个交点
r
d
d=r
圆与圆的位置关系：
外离（图1） 无交点
外切（图2） 有一个交点
相交（图3） 有两个交点
内切（图4） 有一个交点
内含（图5） 无交点
d>R+r
d=R+r
R-r<d<R+r
d=R-r
图1
d<R-r
图2
d
R
r
图3
垂径定理：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中
可推出其它3个结论，即：
2个即
①AB是直径 ②AB丄CD ③CE=DE ④ Bc Bd ⑤ Ac Ad 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在O O中，T AB // CD
D
圆心角定理
D
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弦相等，所对的弧相等， 此定理也称1推3定理，
1个相等，
① / AOB=
要知道其中的 结论也即：
③OC=OF
④Ba
圆周角定理
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：•••/ AOB和/ACB是 所对的圆心角和圆周角
弦心距相等
即上述四个结论中，只 则可以推出其它的 3个
/ DOE ② AB=DE
Ed
•••/ AOB=2 / ACB
圆周角定理的推论：
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 弧是等弧
即：在O O中，•••/ C、/ D都是所对的圆周角
•••/ C= / D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所对的弧是半圆,
所对的弦是直径
即：在O O中，T AB是直径
•••/ C=90 °
或•••/ C=90 °
• AB是直径
推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 形
即：在△ ABC 中，T OC=OA=OB
• △ ABC是直角三角形或/ C=90 °
C
A
D
A
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中
斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角也相
等。
即：••• MN是切线，AB是弦
•••/ BAM= / BCA
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于 它的内对角。
即：在O O中，•••四边形 ABCD是内接四边形
•••/ C+Z BAD=180 ° B+ / D=180 °
/ DAE= Z C
切线的性质与判定定理
(1)判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径， 二者缺一不可 即：••• MN丄OA且MN过半径 OA外端
• MN是O O的切线
(2 )性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出