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第四章 根轨迹分析法


控制系统的根轨迹的绘制
End
本章作业
求取闭环系统零、极点的方法
增加开环零、极点对根轨迹的影响
控制系统的根轨迹分析法举例
线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。
1948年伊凡思()提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。
根轨迹的基本概念
根轨迹：是指系统开环传递函数(开环系统)中的某一些参数变化时(由0变化到∞)，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根轨迹概念
R(s)
(-)
C(s)
例4-1：已知单位反馈系统结构图，试绘制其根轨迹。
解：开环传递函数
闭环特征方程：
分类：
1. 当根轨迹增益Kg变化时的根轨迹。
负反馈系统(180度根轨迹)
正反馈系统(0度根轨迹)
:根轨迹增益Kg之外的参数变化时的根轨迹。
零极点形式
表示系统的闭环极点

0
j
-1
-2
p1
p2


令kg(由0到+∞)变动，s1、s2在s平面的移动轨迹即为根轨迹，如图所示。
闭环特征根：
不相等负实根
不相等负实根
相等负实根
共轭复根
研究根轨迹的目的：由已知的开环零、极点分布及根轨迹增益，
通过图解的方法找出闭环极点，进而分析系统的各种性能（稳定性、稳态性能、动态性能）
箭头表示根轨迹随着kg增大时移动的方向。
稳定性： 当kg从0变化到无穷时，根轨迹都落在s左半平面，故系统闭环稳定。
1） 当0<kg<1时，特征根均为不等负实数，故系统处于过阻尼状态，响应为非周期过程。
稳态性能： 当kg=0时的根即为开环极点，可知系统为I型系统，对阶跃输入信号，ess=0，对斜坡输入信号，kv可由根轨迹上的kg确定。
2） 当kg=1时，特征根为相等负实数，故系统处于临界阻尼状态，响应为非周期过程。
3） 当kg>1时，特征根为共轭复根，故系统处于欠阻尼状态，响应为振荡衰减过程。Kg增大，阻尼减小，振荡剧烈。

0
j
-1
-2
p1
p2


动态性能：
4