初中数学竞赛题汇编代数部分2样稿.doc

初中数学竞赛题汇编
（代数部分2）
江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答
例1：已知a2＋b2＝6ab，且a＞b＞0，求 。
解：由已知得 (a＋b)2＝8ab， (a－b)2＝4ab，
所以 ＝2，因a＞b＞0，所以a＋b、a－b均为正数，
故 ＝ 。
例2：计算 值 。
解：因
＝2， 所以 ＝ 。
例3：已知 ，求
解：由已知得 2(a＋b)2＝ab ，即 ＝－
所以 ＝ ＝ 。
例4：已知 ， ，求 ＝？
解：由 得 ，由 得 ，
所以 ＝ ＋ ＝1。
例5：已知若abc=1，求证 。
分析：所要求证等式左边是三个分母差异很大式子，所以变形比较困难。能够充足利用abc=1，将它们化成同分母。在分子、分母上同乘c，化成，将分母中“1”换成abc得，然后再相加即可得证。
证实：∵ abc=1 ∴
= + = =1 。
例6：已知bc=ad，求证：ab(c2-d2)=(a2-b2)cd
证实：因bc=ad，所以 由百分比性质得
……① ……② ……③
①×②×③得 ，
所以ab(c2-d2)=(a2-b2)cd
∴ab(c2-d2)=(a2-b2)cd 。
例7：已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0，.
证实：
证实：解方程组
(2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax，所以
所以
同理可得，，
所以
例8：已知x、y、z满足关系式，
证实：
证实：将已知等式分别乘以x、y、z得
①
②
③
①+②+③ 得

所以
即：
例9：试用相关（x-1）各次幂表示多项式。
解：设。因为上式是恒等式，所以不管取什么数，两边全部应相等，据此可设
，代入上式得 ……①
，代入上式得 ……②
，代入上式得 ……③
联立上面三个式子解得
∴。
这道例题在求待定系数时利用了特殊值法。要尽可能降低待定系数个数，比如能够断定系数是2，就没有必需再将项系数设为待定系数了。
例10：化简 。
解：设为，则=，=，
则