动态规划矩阵连乘算法.docx

问题描述：给定n个矩阵：Ai,A2,...,An，其中A与Ai+i是可乘的，i=1 ,2..., n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积 需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模， 输出结果
为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有 许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。 若一
个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号， 则可以依此次序反复调用 2个矩阵相乘的标准 算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
单个矩阵是完全加括号的；
矩阵连乘积A是完全加括号的，则 A可表示为2个完全加括 号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即 A=(BC)
例如，矩阵连乘积 A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：
(Ai(A2(A3A4)))，(Ai((A2A3)A4))，((AiA2)(A3A4))，((Ai(A2A3))A4)，
(((AlA2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算 次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3};维数分别为
10*100 ,100*5,5*50 按此顺序计算需要的次数
(Ai*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000 次
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。
算法思路：
例：设要计算矩阵连乘乘积 A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分 别是：
A1： 30*35; A: 35*15; A: 15*5; A4： 5*10; A5：
10*20; A6： 20*25
递推关系：
设计算A[i:j], 1< i < j,弓所需要的最少数乘次数 m[i,j]，贝V原问题的 最优值为m[1, n]。
当 i=j 时，A[i:j]=Ai,因此，m[i][i]=0 , i=1,2,…,n
当i<j时，若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i<=k<j,则: m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p /pkpj。由于在计算是并不知道断开点 k的位
置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个 位置使计算量达到最小的那个位置。
综上，有递推关系如下:
护幺丿]=卜甲门｛删丄幻+觀比+lj]+p口屍卩｝ /<;
构造最优解：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值 m[i][j]
后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩 阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵 Ak和Ak+i之间断开，即最优的加括号方 式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算 A[1:n]的 最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]] 的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。
同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开… 照此递推下去，最终可以确定 A[1: n]的最优完全加括号方式，及构造出
问题的一个最优解。
1、穷举法
列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的 数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为 P(n)。每种加括
号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…A n)可以
得到关于P(n)的递推式如下:
丨 I ] 科=] 3/3
卩何=工甲)-灼冲>尸弘)= GQ in )
以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷
举法不是一个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的
递归代码实现：
〃3d1-1重叠子问题的递归最优解
//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
〃p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#i nclude ""
#in clude viostream>
using n amespace std;
const int L = 7;
int RecurMatrixChai n(int i,i nt j,i n