高数B(2)6~10章知识点总结.docx

第6章定积分
§ 6. 1定积分的概念与性质
1 •概念
疋积分表示一个和式的极限
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f (J.：^
八：y
b n
a f (x)dx = lim ' f( jLXj
'a 0 i 4
其中：兔-maX X!^ x2 / , .'Xn » = Xj _ 托」；］：=%」，xi ］；
几何意义：表示y = f(x)， y =0， x=a， x =b所围曲边梯形面积的代数和
可积的必要条件：f (x)在区间a, b i上有界
可积的充分条件：(可积函数类)
(1)
若f (x)在b, b 1上连续，则 f (x)dx必存在;
La
(2)
若f(X)在a, b i上有界，且只有有限个第一类间断点，则
b
f (x) dx 必
a
存在；
(3)
若f(X)在a, b i上单调、
有界，则
b
f (x)dx必存在。
-a
2•性质
(1)
b
(J f(x)dx)「= 0 ；
-a
b
(2)
(3)
f f (x)dx = -Jb f(x)dx ；
-a - b
b
kdx 二 k(b -a)；
■ a
b
f (x)dx 二 f (t)dt -a --
a
f (x)dx 二 0 a
b
dx = b-a
■ a
bf (x) ：g(x) Idx b f (x)dx「bg(x)dx
• a
b c
f (x)dx f (x)dx 亠 i f (x)dx
a a c
若 f(x) Eg(x)， x a, b 1，贝U bfgdx g(x)dx
*a * a
推论 1:若 f(x) _0，X a, b i， 则 bf (x)dx 0
a
(4)
(5)
(6)
推论2：
［f(x)dx 兰 J f (x) dx
L a * a
(7)若 m_f(x)_M， x a, b 1，则 m(b -a)乞 f (x)dx 乞 M (b-a)
a
若f (x)在a, b 1上连续，g(x)在a, b】上不变号，存在一点 (a, b)
b b
L f(x)g(x)dx=f(E)Ja g(x)dx
特别地，若g(x) =1，则至少存在一点二［a, b 1,或：(a, b)，使得
b
a f(x)dx 二 f( )(b-a)二
1 b
f( ) a f(x)dx
b - a a
若f(x)在a,bl上连续，则其原函数「(x)二xf(t)dt可导，且
弋a
d x
： (x) ( a f(t)dt)二 f(x)
dx a
(10)若 f (x)在 a,b 1 上连续，且 F (x)二 f(x)，则
b
f(x)dx 二 F (x)
■ a
b
二 F(b)-F(a)
a
§ 6. 2
定积分的计算
换元法
b
f (x)dx
■ a
巴「f V(t)丨(t)dt

b
udv
a
b b
-vdu
a - a
或 uv dx = uv
a
b b
-[vudx
a - a

(1) J f(x)dx = J
〔f(x) f(—x)】dx二 2 0 f (x)dx
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
(2)
f(x)g(x)dx=C g(x)dx，其中 f(x) f(-x)=C，g(x)为连续偶函
~a 0
(3)
a T T
f (x)dx f (x) dx
: ，其中 f (x +T) = f(x)
hi T ‘
0 f (x)dx 二 h 0 f(x)dx
a
nT
(4)
I [02 f (sin x) dx 二 02 f (cos x) dx
j丑 丑
2 f (sin x,cosx)dx 二 :f (cos x,sin x) dx
1 乂
石 J02 cosn xdx (5) 2 cosn xs inn xdx 二
1
1 2 sin nxdx 2n 0
0
JI
2-n
(6)
兀 p J02 f(sinx)dx
0 xf (sin x)dx =
n ji
2 °f (sin x) dx
(8)
(9)
2 sin
innxdx 二 4「sin^dx n为偶数 1°
n为奇数
JI
2 sinn xdx 2cosnxdx =
0 0 g n为奇数
n!!
'-■(x)
(6)f (t) dt) = f (屮(x))屮(x) - f 代(x)尸