高数(上)前三章知识点总结.doc

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第一章 函数与极限
第一节映射与函数
一、 集合
1、 集合概念
(1) 通常用大写拉丁字母A、B、C••…表示集合(简称集),用小写拉丁字母a、 b、c 表示兀素(简称兀)。
(2) 含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。
(3) 表示集合的方法通常有列举法和描述法。
(4作 N,全体正整数的集合为N , 全体整数的集合记作Z,全体有理数的集合记作 Q,全体实数的集合记作 R。
(5) 设A、B是两个集合，如果集合 A的元素都是集合B的元素，则称A是B 的子集，记作A=B或B^A。如果A匸B且B=A,则称集合A与集合B相 等，记作A三B。
(6) 若A B且A=B,则称A是B的真子集，记作A B
(7) 不含任何元素的集合成为空集。
2、 集合的运算
(1) 集合的基本运算有并、交、差。
A」B={x/x E A 或 b} A " B={x/x A 且 x B} A\B={x/x A 且 x - B}
(2) 若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作AC
(3) 集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。
3、区间和邻域
(1) 开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间，此外还有无限区间。
(2) 以点a为中心的任何开区间称为点 a的邻域，记作U( a)。
(3) 点a的：邻域记作U(a,)，点a称为这邻域的中心，称为这邻 域的半径。
(4) 点a的去心「•邻域记作U° (a)。
二、 映射
1、映射概念
(1) 映射定义：设X、丫是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每
个元素x,按法则f,在丫中有唯一确定的元素y与之对应，则 称f为从X到丫的映射，记作f : X》丫
(2) 设f是从集合X到丫上的映射，若Rf =Y,则称f为X到丫上的映射或满射；
若对X中任意两个不同元素的像不相等，则称 f为X到丫上的单射；若映 射f既是单射又是满射，则称f为 映射或双射。
2、逆映射与复合映射
(1) 只有单射才存在逆映射
(2) 若g： X > Y!，f : 丫2，Z ,则这个映射称为映射g和f构成的复合映
射，记作f Q即f g X > Z 0
三、函数
1、 函数概念
(1)设数集D R,则称映射f : D > R为定义在D上的函数，通常简记为 y=f(x) , x e D
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D
(2) 构成函数的要素是定义域和对应法则。
(3) 函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函 数，另一种是对抽象地用算式表达的函数。
(4) 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法) °
2、 函数的几种特性
(1) 函数的有界性
(2) 函数的单调性
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数
(3) 函数的周期性
对于函数f(x)的定义域为D,若存在正数I，使得 f(x+