极限计算方法及例题.docx

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蒀 极 限 计 算 方 法 总 结
羆《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难， 而极限学的好坏直接关系到
《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结， 然后通过例题给出
求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
蒄一、极限定义、运算法则和一些结果
螂1 •定义：(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)
b-0(a,b为常数且a = 0)； 0 ,当rqani时
- 等等
_不存在，当| q 1时’
荿说明：(1) 一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面 的极限严格定义证明，例一如：、「,l i m—
lim (3x _1) = 5 ； lim qn
n 、
蚆 (2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不
需再用极限严格定义证明。
薅2 •极限运算法则
羁定理1已知lim f (x) , lim g(x)都存在，极限值分别为A, B,则下面极限都存在,
且有 (1) lim[ f (x) _g(x)] = A_ B
螈(2)
lim f (x) g(x)二 A B
蒆(3)
lim -,(此时需B 0成立)
g(x) b
说明：极限号下面的极限过程是一致的； 同时注意法则成立的条件， 当条件不满足时,
不能用。
芃3 •两个重要极限
膈（1）
lim s^ =1
x >0 x
1］叫(1 x)x = e ；
i imi + g)x
X
莄说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,
莂
蚇作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
. 1 x
羇例如：吧詈"，哩（1-2沪—，xm（1 + £）3=e ；等等。
4 .等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0）。
莁定理3当XT 0时，下列函数都是无穷小（即极限是 0），且相互等价，即有:
蚈 x 〜sin x 〜tan x 〜arcs in x 〜arcta n x 〜in (1 x)〜ex - 1
芃说明：当上面每个函数中的自变量 x换成g（x）时（g（x）T 0 ），仍有上面的等价
3x 彳 小 2 2
袂关系成立，例如：当X- 0时，e -1〜3x ； ln（1-x ）〜- x。
定理4如果函数f （x）, g（x）, f/x）, gjx）都是x、x°时的无穷小，且 f（x）
f1（x）， g（x）〜5（x），
则当lim f1（x）存在时，l i mf^x）也存在且等于
…g1（x）
心阿0
f1(x)
g"x)
，即 lim
xTx°
f(x)
g(x)
lim
XrX°
f1(x)
gdx)
蒈5 •洛比达法则
芄 定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f(x)和g(x)满足:
(1)f (x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；
羁 ⑵ f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；
f (x),,
腿 (3) lim 存在(或是无穷大)；
g\x)
一 一 f (x) 一 f "(X) 一 f (x) f *(x)
袄 则极限lim 也一定存在，且等于lim ，即lim =lim
g(x) g\x) g(x) g'(x)
蒂说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条 不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件( 1 )是否满足，即验证所求极限
0 O0
是否为“ 0 ”型或“ 一”型；条件(2) 一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后
0 旳
可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条 件。
葿6 .连续性
蚅定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续， 即如果x0是函数f (x)的定义去间
内的一点，则有 lim f(x)=f(x0)。
蚁7 .极限存在准则
艿定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。
薈
肄定理8 (准则2)已知{Xn} ,{yn} ,{Zn}为三个数列，且满足：
(2) lim y^ a, lim z^ a
，即 lim xn = a。
则极限lim Xn —定存在，且极限值也是 a
n ＞：:
薄二、求极限方法举例
1.
2.
膂用初等方法变形后