数列知识点总结及题型归纳.docx

(1)n =
1,n
1,n
2k 1(k Z);
2k
一、数列的概念
数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an，在数列第一个位置的
项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第 2项，……，序号为 n的项叫 第n项(也叫通项)记作 an ；
数列的一般形式：a1, a2, a3,……,an,……，简记作 an。
例：判断下列各组元素能否构成数列
a, -3,-1, 1, b, 5, 7, 9;
2010年各省参加高考的考生人数。
通项公式的定义：如果数列 ｛an｝的第n项与n之间的关系可 以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,…
②：1丄丄-丄…
2 3 4 5
数列①的通项公式是 an = n ( n 7, n N ),
1
数列②的通项公式是 an= - ( n N)。
n
说明：
①an表示数列，an表示数列中的第 n项，an = f n表示数列
的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an =
③不是每个数列都有通项公式。例如， 1 , , , ,
数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一
个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N (或它的
有限子集)的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值
f(1),f(2), f(3),……,f(n),……•通常用an来代替f n，其图象是一 群孤立点。
例：画出数列an 2n 1的图像.
数列分类：①按数列项数是有限还是无限分： 有穷数列和无穷数
列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、
常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1,0, 1,0, 1,0, … (4)a, a, a, a, a, …
(5 )数列｛ an ｝的前n项和Sn与通项an的关系：
S (n 1)
an
Sn Sm(n > 2)
例：已知数列｛an｝的前n项和sn 2n2 3 ,求数列｛ an｝的通项公式
二、等差数列
题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的
前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。
例：等差数列an 2n 1 , an an 1
题型二、等差数列的通项公式： an a1 (n 1)d ；
说明：等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d 0
为常数列，d 0为递减数列。
例： an中，a7 a9 16, a4 1,则 牝 等于( )
A. 15 B . 30 C . 31 D . 64
2. ｛an｝是首项ai 1，公差d 3的等差数列，如果 务 2005，则序
号n等于
（A）667 （B）668
(C) 669 ( D)
670
3.
等差数列an 2n 1,bn
2n 1，则an为
bn为
（填“递增数列”或“递减数列”）
题型三
、等差中项的概念：
定义：如果a，A，b成等差数列,
那么 A叫做a与b的等差中项。其中
a
b
A -
2
a，
A，b成等差数列 A a
b 刚
—即：2an 1 an
an 2
2
(2an
an m an m )
例：1. （06全国I ）设an是公差为正数的等差数列，若 ai a2 as 15 ,
48,则它的首项是（ ）
A. 1

题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列
an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列
an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（3 ）在等差数列
an中，对任意 m , n N ,务 am
(n m)d ,
an am z
d (m
n m
n)；
（4）在等差数列
an 中，若 m , n , p , q N 且 mn
p q，则
am an a p aq
;
题型五、等