正弦余弦定理证明教案样稿.doc

正弦余弦定理证实教案
【基础知识精讲】
、三角形面积公式
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角正弦比相等，而且全部等于该三角形外接圆直径，即：===2R.
面积公式：S△=bcsinA=absinC=acsinB.

变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c
(3)sinA=,sinB=,sinC=.
应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，能够处理以下两类解斜三角形问题：
，求其它两边和一角.
，求另一边对角.
通常地，已知两边和其中一边对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况.
①A为锐角时
②A为直角或钝角时.
(2)正弦定理，：在判定三角形形状时，常常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来替换.

在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2accosB；
c2=a2+b2-2abcosC；
变形公式：
cosA=,cosB=,cosC=
在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基础元素，只要已知其中三个元素(最少一个是边)，便能够求出其它三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理关键作用是解斜三角形.
，须注意三角关系式：A+B+C=π
0＜A，B，C＜π
sin=sin=cos
sin(A+B)=sinC
尤其地，在锐角三角形中，sinA＜cosB,sinB＜cosC,sinC＜cosA.
 
【关键难点解析】
掌握正、余弦定理，并学会用其它弦定了解三角形.
例1  在△ABC中，已知A＞B＞C，且A=2C,b=4,a+c=8，求a、c长.
解：由正弦定理=及A=2C得=,即=,
∴cosC=.
由已知a+c=8=2b及余弦定理，得
cosC==
==.
∴=，整理得(2a-3c)(a-c)=0
∴a≠c,∴2a=3c.
∵a+c=8,∴a=,c=.
例2  在△ABC中，假如lga-lgc=lgsinB=-lg，且B为锐角，试判定此三角形形状.
解：∵lga-lgc=lgsinB=-lg,
∴sinB=
又∵0°＜B＜90°，∴B=45°
由lga-lgc=-lg,得= .
由正弦定理得= .
即2sin(135°-C)= sinC
即2［sin135°cosC-cos135°sinC］=sinC.
∴cosC=0,得C=90°
又∵A=45°,∴B=45°
从而△ABC是等腰直角三角形.
例3  图已知：平行四边形两邻边长为a和b(a＜b)，两对角线一个交角为θ(0°＜θ＜90°)，求该平行四边形面积.
 
分析：因为已知了平行四边形相邻两边长和对角线一个交角，再考虑到平行四边形面积是△AOB四倍，所以只要求OA·OB·sinθ即可.
解：=a,BC=b,∠AOB=θ，又设OA=x,OB=y.
在△AOB中，应用余弦定理可得：
a2=x2+y2-2xycosθ                ①
在△BOC中，应用余弦定理可得：
b2=x2+y2-2xycos(180°-θ)        ②
由②-①得：
b2-a2=4xycosθ
∵0°＜θ＜90°，∴xy= (b＞a)
∴S□=4S△AOB=2xysinθ=tanθ
例4  在△ABC中，已知4sinBsinC=1,b2+c2-a2=bc,且B＞C，求A、B、C.
分析：因为题设条件b2+c2-a2=bc十分特殊，将它和余弦定理对照可得A=60°,这么B+C=120°，于是再利用条件4sinBsinC=1，可求得B和C.
解：由余弦定理cosA===.
又∵0°＜A＜180°
∴A=60°
∴B+C=120°,又因为4sinBsinC=1
∴4sinBsin(120°-B)=1
∴4sinB(cosB+sinB)=1
∴sin2B+2sin2B=1
∴sin2B=cos2B
∴tan2B=,∴2B=30°或2B=210°
因为B+C=120°,且B＞C，60°＜B＜120°
∴2B=210°,
∴B=105°,从而C=15°
∴A=60°,B=105°,C=15°
例5  已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C对边，且a+c=2b，A-C=,求sinB值.
解法一：由