1-2子空间与子空间的分解2013.docx

§2 线性子空间与子空间的分解
在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难 看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维 的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分， 同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅 要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方 面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可 以更深刻地揭示整个线性空间的结构。
一、线性子空间的定义
定义7设V是数域F上的一个线性空间，W是V的一非空子 集。如果W对于V中所定义的加法和数乘运算也构成数域 F上的 一个线性空间，则称 W为V的一个线性子空间，简称子空间。
验证W是否为V的子空间，实际上只需考察 W对于V中加法 和 数乘运 算是否 封闭就 行了。 因为线 性空间 定义中 的规则 (1) ~ (8)在W对线性运算是封闭的情况下必是满足的。
例 1 任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它 自身V V ,另一个是W 0，称为零元素空间(零子空间)。 除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常 见的例子。
例2给定A⑻包丄,an) Rmn，集合
N(A) x|Ax 0, x Rn
R(A) (A) L (a1, a2 ,L ,an) span{a1,a2,L ,an} y|y Ax, x Rn
分别是Rn和Rm上的子空间，依次称为 A的零空间(核)和列空间 (值域) ，零空间的维数称为 零度
A的零空间是齐次线性方程组Ax 0的全部解向量构成的n
维线性空间Rn的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方 程组的基础解系。所以， dim( N ( A)) n rank(A)。
A的左零空间和行空间
N(AT) x|ATx 0, x Rm
R(AT) (AT) y|y ATx, x Rm ，
dim( N ( AT )) m rank(AT) 。
A 表示 Am n 的广义逆，满足 AXA A ，则有
N( A) (In A A)
且In A A , A A幕等。所以
rank (In A A) tr(In A A) n tr(A A) n rank (A A) n rank ( A)
m(m
1)是V的m个向量，它们所有可能
的线性组合所成的集合
Span 1, 2 ,
m
| ki i
i1
是 V 的一个子空间，称为由 1 , 2
m生成的子空间
若记 A ( !, 2, , m) Rnm，则
(A) Span 1, 2 , m
由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向
1, 2,
,m，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说
Span 1,2, m是V的一个子空间
注：容易证明
dim (A) rank(A)。
(2) (A) (A B), B bi bi，特别若 bj, j 1,2, ,l 可表示
为1, 2, , m的线性组合，则(A) (A B)。
定理2设W是Vn的一个m维子空间，1 , 2 , , m是W的一 个基，则这m个向量必定可扩充为Vn的基。
证明
若m n ,则定理已成立。若 m n,则Vn中必存在一个向量
m 1 不能由 1 , 2,
,m线性表出，从而 1, 2, , m, m 1线性
无关。如果m 1 n,则定理已成立。否则继续上述步骤。经过
n m次，则可得到Vn内n m个线性无关的向量，使
1, 2, , m, m 1,
,n为Vn的基。
二、子空间的分解
子空间作为子集，有子集的交(W1 W2)，和(W1 W2)等 运算，对它们有如下定理。
定理3设W1,W2是线性空间V的子空间，则有
(1) w与W2的交集w W2 | WN W2是V的子
空间，称为Wi与W2的交空间。
(2) Wi 与 W2 的和 Wi W2 | 1 2, 1 Wi, 2 W2
是V的子空间，称为W1与W2的和空间。
证明
(1) 由0 W1, 0 W2 ,可知0 W1 W2,因而W1 W2是非空的.
其次， 如果 ,
W1 W2 , 即 , W1 而且 , W2 , 因 此
W1 ,
W2 , 因 此 W1 W2 . 同 样 , 由
k W1, k W2,知k W W1 W2是V的子空间.
由 定 义 W1 W2 V , 而 且 非 空 . , W1 W2 , 则 有
Wi,i 1, 2.
12
1
2 ( 1 1) ( 2 2),
k k 1 k 2 ，
因 Wi 是子空间 , 则 1 1
W1,
2 2 W2,k 1 W1,k 2 W2