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第六章实数知识点归纳及典型 例题
第十三章实数----知识点总结
•、算术平方根
算术平方根的定义： 一般地，如果 的
等于a，即 ，那么这个
正数x叫做a的算术平方

为 ，读作“根号a", a
叫做
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式x2 a (x》0)
中，规定x、a。
理解：x2 a (x > 0) x a
a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a
的算术平方根 a 的算术平方根是x
a的结果有两种情况：当a是完全平方数时，.a
是一个有限数；
当a不是一个完全平方数时，、a是一个
无限不循环小数
当被开方数扩大（或缩小）时，它的算术平方根也 扩大（或缩小）：
夹值法及估计一个（无理）数的大小（方 法：
二、平方根
平方根的定义：如果 的平方等于a，那么
这个数x就叫做a的 如果 ，那么x
的
•即：
叫做a
理解：x2 a
< > x 4a
a是x的平方
x 的平方是a x
是a
的平方根
a 的平方根是x
开平方的定义：求一个数的 的运算，叫
做 .开平方运算的被开方
数必须是 才有意义。
平方与开平方 ：3的平方等于9，9
的平方根是3
一个正数有 平方根，即正数进行开平方
运算有两个结果；
一个负数 平方根，即负数不能进行开平方
运算
符号：正数a的正的平方根可用a表示，、a也是 a的算术平方根；
正数a的负的平方根可用-a表示.
平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根 只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而 正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根
立方根的定义：如果 的
等于a，这个数叫做a的
（也叫做 ）,即如
果 ，那么x叫做a
的立方根。
一个数a的立方根，记作35，读作：“三次根号a ”， 其中a叫被开方数,3叫根指数，不能省略，若省略 表示平方。
理解： X3 a < — > x 3 a
a是x的立方 x 的立方是a x 是a的 立方根 a 的立方根是x
一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根， 是它本身；
一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的
立方根。
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性, 求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的 立方根，再取其相反数，即
彳二3a a 0。
四、实数
有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也 都是有理数。
无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
实数的定义：有理数和无理数统称为实数
整数
实数有理数分数有限小数或无限循环小数
无理数 无限不循环小数
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如 -2，
33，是正无理数， 2， 33， 是负无理数。由于
非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这 样分类：
正实数
正有理数
正无理数
实数0
负实数
负有理数 负无理数
实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出 来，
数轴上的点有些表示有理数， 有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个 实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数 轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右 边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
数a的相反数是a，这里a表示任意一个实数。
实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；
一个负实数的绝对值是它的相 反数；
0 的绝对值是 0。
无限小数是有理数 （ ） 无限小数是无
理数（ ）

有理数是无限小数（ ）
小数（ ）
无理数是无限
数轴上的点都可以用有理数表示 （ ）
理数都可以由数轴上的点表示（ ）
数轴上的点都可以用无理数表示 （ ）
理数都可以由数轴上的点表示（ ）
数轴上的点都可以用实数表示（ ）
数都可以由数轴上的点表示（ ）
五、考点分析
类型一、有关概念的识别
例 1 .下面几个数：, , 3 ,3 ,, 5 ,其中， 无理数的个数有
A 1 B、2 C、3 D、4
【变式1】下列说法中正确的是（）
A、81的平方根是土 3 B、1的立方根是土 1 C、• 1 1
D、 5是5的平方根的相反数
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正 方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半
径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点A表示的数是
4
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