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希尔伯特几何公理
石门中学高二（2）邓乐涛
一、符号及一些说明
有三组不同的对象：点，直线，平面
点用A,B,C,D……来表示；
直线用a,b,c,d 来表示；
平面用也，6 , r , a 来表示。
点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为
立体几何的元素
那么点，几何元素之间又有一定的相互关系
点A在直线a上：
点A在平面a上：
直线a在平面③上：山仁n （直线的每一点都在平面上）
点B在点A与点C之间：（我白己规定的符号）
线段AB与CD相等 网=CD （原书是用号的，不过对于我们不常见，所以 我用了 =号）
与 相等：
等等……
（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）
在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的
最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希
尔伯特所说“我们必定可以用’桌子、椅子、啤酒杯’来代替’点、线、面’ 最简
单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对（x,y）,定义线是 ｛（xy）Wx + By + C = 01，其实在这个定义下，“几何”已经失去了 “直观”的形式了， 因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又 将它画在了坐标系中而已。
我这里的关系符号，仁，并不来白于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本 身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。
总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言， 我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几 何）
公理I关联公理
本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：
（为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或 平面）
|1：对于两点A和B,恒有一直线a,使得人占心（存在性）；
12：对于两点A和B,至多有一直线a,使得4月1。（唯一性）；
（对于1,2,我们可以说两点确定一直线）
|3： 一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；
|4：对于不在同一直线的三点 A,B和C,恒有一平面劣，使得；（存在性） 对于任一平面"，恒有一点A,使得；
|5：对于不在同一直线的三点 A,B和C,至多有一平面a,使得；（唯—
性）
（对于4,5 ,我们可以说三点确定一平面）
|6：若A3 0 且W，贝“ ；
7 :若两平面有一个公共点A,则他们至少还有一个公共点 B;
|8：至少有四点不在同一个平面上。
以上。
其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以 放弃了 °
公理II顺序公理
本组公理有四条，规定了 “在……之间”这个关系。根据这个概念，直线上的， 平面上的，空间上的点才有顺序可言。
1：对于点A,B,C，如果，则点A,B,C是直线上不同的三点；这时，也成立；（如
*
A B C
2：对于点原月® 恒有一点，使得；（如上图）
II 3： 一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；
根据上面，我们就可以定义线段了：
对于直线a和直线上的两点A,B;我们把这一点对（A,B｝称为线段，用AB或BA表
示。在A和B之间的点叫做 线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。
II 4：设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABCfi不经过点A,B,C的直线
a,若a交于线段AB的一点，则它必定交于线段 AC或CB的一点（如图）
以上。
接下来定义射线
a
・ •
A
O
B
先定义同侧：设A,A‘ ,O,B是直线a上的四点，而。在A,B之间，但不在A,A‘之 间，则A和A'称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。
那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如与上图关于点 O与B同侧
的射线我们记为OB （虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）
公理III合同公理
本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。
III 1：对于线段AB和一点A',恒有一点B',使得线段AB与线段A B'相等, 记为
AB = A B1
因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：
AB = i
III 2：若AB = A 日1 且 ，贝；
（根据1,2，我们才能得到线段AB与白己相等，才能得到= A F 与 等 价，这并不是不证白明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等” 。总而言之根 据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是 一个等价关