函数单调性的判断或证明方法样稿.doc

函数单调性判定或证实方法.
定义法。用定义法证实函数单调性通常步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判定差值符号方向变形；④定号，判定正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，依据函数单调性定义下结论。
(－1，＋∞)上单调性，并证实．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
当a<0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
；在上为减函数。（增两端，减中间）
证实：设，则
因为，所以,
所以，
所以
所以

设
则，
因为，
所以，
所以
所以
同理，可得
运算性质法.
①在公共定义域内，两个增函数和是增函数，两个减函数和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）
②若.
③当函数.
④函数二者有相反单调性。
⑤利用已知结论，直接判定函数单调性，如一次函数、反百分比函数等。

（3）。
。
解：
在同一坐标系下作出函数图像得
所以函数单调增区间为
减区间为.
（4）复合函数法.（步骤：①求函数定义域；②分解复合函数；③判定内、外层函数单调性；④依据复合函数单调性确定函数单调性.⑤若集合是内层函数一个单调区间，则便是原复合函数一个单调区间，如例4；若不是内层函数一个单调区间，则需把划分成内层函数若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数单调区间，如例5.）
设，，全部是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数。以下表：




增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增

例4. 求函数单调区间
解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成；
易知是外层函数单调增区间；
令，解得取值范围为；
因为是内层函数一个单调减区间，于是便是原函数一个单调区间；
依据复合函数“同增异减”复合标准知，是原函数单调减区间。
例5 求函数单调区间.
解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成；
易知和全部是外层函数单调减区间；
令，解得取值范围为；
结合二次函数图象可知不是内层函数一个单调区间，但能够把区间划分成内层函数两个单调子区间和，其中是其单调减区间，是其单调增区间；
于是