专题抽象函数的单调性与奇偶性的证明样稿.doc

抽象函数单调性和奇偶性
特殊模型
抽象函数
正百分比函数f(x)=kx (k≠0)
f(x+y)=f(x)+f(y)
幂函数 f(x)=xn
f(xy)=f(x)f(y) [或]
指数函数 f(x)=ax (a>0且a≠1)
f(x+y)=f(x)f(y) [
对数函数 f(x)=logax (a>0且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y) [
正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx
f(x+T)=f(x)
正切函数 f(x)=tanx
余切函数 f(x)=cotx
,对一切实数、全部成立，且,求证为偶函数。
证实：令=0, 则已知等式变为……①
在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。
（-1，1）内递减，求满足实数取值范围。
解：由得，∵为函数，∴
又∵在（-1，1）内递减，∴
=(a>0)对任意有,比较大小
解：对任意有∴=2为抛物线=对称轴
又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数
∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)
4. 已知函数f（x）对任意实数x，y，全部有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上值域。
分析：由题设可知，函数f（x）是抽象函数，所以求函数f（x）值域，关键在于研究它单调性。
解：设，∵当，∴，
∵，
∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，
∴ f（x）值域为［－4，2］。
5. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2抽象函数，且f（x）为单调增函数，假如这一猜想正确，也就能够脱去不等式中函数符号，从而可求得不等式解。 解：设，∵当，∴，则，
即，∴f（x）为单调增函数。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式解为－1 < a < 3。
（x）定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，判定f（x）值正负。
分析：由题设可猜测f（x）是指数函数抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入，则，∴
。若f（x）＝0，则对任意，有，这和题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）解析式，如不存在，说明理由。
分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证实以下：
（1）x＝1时，∵，又∵x