三角形五心.doc

三角形五心
1重心
三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。重心坐标为三顶点坐标平均值。
2外心
三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
外心到三顶点距离相等。
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形有且只有一个外接圆。
外心公式：
3内心
三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有且只有一个内切圆。
内心坐标公式：
4垂心
三角形三边上的三条高线交于一点，称为三角形垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
三角形只有一个垂心
垂心坐标公式：
5旁心
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫三角形旁心。
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
6五心的性质
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.
垂心
三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。
性质1垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。
性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
性质8锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
性质9锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
内心
三角形的内切圆的圆心