根轨迹分析法参考答案.docx

习题
已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：
(A)
D
K*(1 s)
A K*(2 s) b K* c
s(s 1) s(s 1)(s 5)
*
K
s(s2
3s 1)
s(2 s)
若两个系统的根轨迹相冋，则有相冋的：
(A)
A闭环零点和极点 B开环零点
C
闭环极点
D阶跃响应
己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
*
G(s)H(s)
K
s(s
6)( s
3)
⑴绘制系统的根轨迹图（0 K* ）;
（2）求系统临界稳定时的 K*值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为 p1 0、p2 3、p3 6。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为 ，6、 3,0。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
3（k 0）
3 6
2k 1
3
a
3 ,
a
(k 1)
3
3
3 (k 2)
求分离点方程为
1
1
1 门
0
d
d
3 d 6
经整理得d2 6d 6
0,解方程得到
d1
、d2
。显然分离点位于实轴上
3,0间，故取d2
。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为
D(s)
s3
9s2
18s
*
K 0
令s j
，然后代入特征方程中，
令实部与虚部方程为零，则有
Re G(j
)H(j
)
1 9
2 *
K 0
Im G(j
)H(j
)
1
3
18 0
0

解之得
*
、
K
0
K
162
显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为 s j3-. 2，对应的根
轨迹增益K* 162为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的 2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得
0 3 6, 2 3 3 j3 2
解之得3 9。即当K* 162时，闭环系统的3个特征根分别为 1 j3 2、2 j3 • 2、
9。系统根轨迹如图所示。
R(s)
系统结构如下图所示
K值。
绘制系统的根轨迹(0 K
解：系统闭环传递函数为
)，并确定系统欠阻尼状态下的
9
s s 2
9Ks
s s 2
(s)
s2 2s 9Ks 9 °
一 o
特征方程为s 2s 9Ks 9 0。
9Ks
2 。
s 2s 9
系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点 p,2
另一条沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为 ,0。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
1 1 j2 .2
等效开环传递函数为 G (s) H (s)
j2. 2，1条终止于开环零点 z 0，
1
实轴上分离点方程为 d s 2^-9 0。解方程得到
ds 9Ks
4 一
K -。根轨迹与虚轴在有限范围内无交点，根轨迹如图所示。
2k 1
0,
di
d2 3(弃去)，对应
4
由根轨迹可知当0 K -时，系统有两个闭环极点，为欠阻尼响应。
9
已知负反馈控制系统的闭环特征方程为
2s 2) 0
* 2
K (s 14)(s
。
绘制系统的根轨迹(0 K* )；
确定使复数闭环主导极点的阻尼系数
解：系统开环传递函数为
G(s)H(s)
(s 14)(s2
2s 2)
14、P2,3 1 j。
,14。
开环极点为Pl
实轴上根轨迹区段为
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
14 1 j 1 j
3
,
2k 1
3 (k
(k
0)
1)
3 (k
2)
实轴上分离点方程为
d 14
求与虚轴交点，闭环特征方程为
特征方程中，令实部与虚部方程为零，
ReG(j )H(j ) 1
1
d 1 j
D(S)
则有
16 2
3
1 j
(s
0，解之得
2
14)( s 2s
2)。
。
令s j ，然后代入
28
Im G(j )H(j ) 1
因cos ，故 60，作过原点与负实轴夹角为