无穷小于无穷大.ppt

第四节无穷小与无穷大一、无穷小的概念 : 极限为零的变量称为无穷小. 例如,,0 sin lim 0??x x?.0 sin 时的无穷小是当函数??xx,0 1 lim ???x x?. 1 时的无穷小是当函数???xx,0 )1( lim ????n nn?.} )1({ 时的无穷小是当数列????nn n 注意 ,不能与很小的数混淆; . 1 在同一过程中,, )(0(时的两个无穷小是当及设?? xxx??使得,0,0,0 21??????NN ;2 )( 1????xNx时恒有当;2 )( 2????xNx时恒有当},, max{ 21NNN?取恒有时当,Nx?)()()()(xxxx???????22 ????,??)(0)()(?????xxx??注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 是无穷小, 时例如 n n 1,,??.1 1 不是无穷小之和为个但n n 性质 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 0 0 1 ( ) ( , ) u x U x ?设函数在内有界, .)( 0,0,0 10 1Mxu xx M???????恒有时使得当则??, )( 0时的无穷小是当又设 xxx??.)( 0,0,0 20 2M x xx??????????????恒有时使得当推论 1 在同一过程中, 2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. },, min{ 21????取恒有时则当,0 0????xx )()()()(xxuxxu?????M M ???,??.)()(, 0 为无穷小时当xxuxx????x xx xx 1 arctan , 1 sin ,0, 2时当例如?: 证必要性,)( lim 0Axf xx??设,|)(|||000 0?????????????Axfxx时,有当, , ))(( lim 0???Axf xx所以充分性.)( lim 0Axf xx??所以)( lim 0xA xx????.A?,知由0))(( lim 0???Axf xx ,|)(|||000 0?????????????Axfxx时,有当, , 则这个定理也可表述为: 意义将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); ).()(xAxf???设四、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形:正无穷大,负无穷大. ))( lim ()( lim )()( 0 0 ????????????xfxf x xxx xx或注意 ,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大..)( lim .2 0 认为极限存在切勿将???xf xx