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星光小论文----- 论条件极值的判别方法本文主要类比了无条件极值的判别法,讨论了条件极值是否拥有与无条件极值类似的判别法。通过利用黑赛矩阵与二阶微分,得出了怎样求条件极值和极值点的有效方法,并且得出了无条件极值所满足的判别法不是都适应条件极值的。关键词条件极植一熟悉的条件极值判别法在研究数学问题时,有时会遇到与极值有关的问题,而我们常见的有无条件极值与条件极值。对于无条件极值,我们都有非常熟悉的判别法: 若二元函数 f在点的某个邻域 U()内具有二阶连续偏导数,且是 f的稳定点, 则有: (1)当>0,>0时,黑赛矩阵是正定的, f在点取得极小值; (2)当<0, >0时,黑赛矩阵是负定的, f在点取得极大值; (3)当<0时,黑赛矩阵是不定的, f在点不能取得极值; (4)当=0时,黑赛矩阵是半定的,不能肯定 f在点是否取得极值。因此,我们可以类比无条件极值,探讨条件极值,看它是否也满足上面的四条判别法。二有关条件极值的一个定理为了研究上面的问题,我们首先给出一个常用定理: 首先,这个定理需要条件:在的限制下,要求目标函数的极值。则有定理:设在满足上面的限制下,求函数的极值问题,其中与在区域 D内有连续的一阶的偏导数。若 D的内点是上述问题的极值点,且雅可比矩阵的秩为 m,则存在 m个常数,使得为拉格朗日函数的稳定点,即为下述 n+m 个方程的解。三分析讨论以上问题通过引入上面的定理,我们可以得到它的稳定点,而我们接下来考虑的是条件极值能否在稳定点处取得极值,且如果取得极值,它取得的是极大值还是极小值。我们在这里还需用到黑赛矩阵。设是 F的稳定点。令,并且使固定,考虑在点的黑赛矩阵此时,分类讨论: 1当是正定的或负定的。这是是的极值点。而我们限制了。因此也是的相应的条件极值点。 2当是不定的或半正定的或半负定的。这是可能不是的极值点,但也有可能是的极值点。我们可以通过, 。求出,,…,,,…,之间的关系,得到,…,的二次型如果此时其系数矩阵是正定的,则是的极小值点;如果是负定的,则是的极大值点。通过以上分析,我们就可以得出一个重要的结论:条件极值类比与无条件极值第一,二条是成立的,对于第四条是不适应的,对于第三条虽然开始也无法判断, 但可以找到其他途径,求出是否有极值。四实例分析我们首先举出一个例子: 已知 f(x,y,z)=x+y+z, 求它在限制条件 xyz= 下的极值点。解: 根据题意,我们首先设 F(x,y,z,)=f(x,y,z)+ (xyz-) 接着,我们算 dF(x,y,z,)=0, 从而解得 x=y=z=c, = 如果 c=0, 则可得 f(x,y,z) 在xyz= 下无极值点当c0时,则在=,=(c,c,c )处,有=此时此矩阵不是正定的,也不是负定的。再对 xyz-=0 求微分,在=(c,c,c )处, 解得 dz=-dx-dy, 代入得=(dxdy+dydz+dzdx )=(—— dxdy —)= 当c>0 时,正定,( c,c,c )为极小值点,当 c<0, 负定, (c,c,c) 为极大值点。因此,通过这个例子,我们在不能判断黑赛矩阵是正定还是负定的情况下,可以通