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初中几何证明中的几种解答技巧 (教师用 )
几何证明中的几种技巧
一．角平分线－－轴对称
１．已知在 ABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分 BAC ， BD AD 于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求
ＤＥ的长．
A
A
F
D
C
D
C
B
E
B
E
分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得
ABD≌Δ AFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为
BCF的中位
DE
1 FC
1 (AC AB)
2
线．∴
2
2
．
２．已知在
ABC中，
A
108o ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．
A
A
D
D
C
C
B
B
E
分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得
BAD≌Δ BED．由已知可得：ABDDBE 18o ，
A
BED
108o ，
C
ABC 36o ．
∴
DEC
EDC 72 o，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．
３．已知在 ABC中， A 100o ，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分 ABC ．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．
A
A
D
D
C
B
C
B
E F
分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证
ABD≌Δ EBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，
A
BED 100o．由已知可得：
C
40o ，
DBF
20o ．由∵ＢＦ＝ＢＤ，
∴
BFD
80o ．由三角形外角性质可得：
CDF
40o
C ．∴ＣＦ＝ＤＦ．
∵
BED
100o ，∴ BFDDEF
80o ，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，
１
初中几何证明中的几种解答技巧 (教师用 )
∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．
4．已知在 ABC中， AC BC ， CE AB ，ＡＦ平分 CAB ，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ． 求
证：ＡＣ＝ＡＤ．
A A
E E
D D
G
F F
C B C B
分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．
易证 AGF≌Δ AEF．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证 GFC≌Δ EFD．∴ＧＣ＝ＥＤ．
∴ＡＣ＝ＡＤ．
５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是 VABC 的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ
于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．
FG 1(AB BC CA)
（１）求证： 2
（２）若（ a)ＢＤ与ＣＥ分别是
VABC 的内角平分线（如图（２）
）；
(b)ＢＤ是
ABC的内角平分线，ＣＥ是
ABC的外角平分线（如图（３） ）．
则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与
ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，
并对其中的一种情况给予证明．
A
A
A
E
D
D
E
E
D
F
G
F
G
G
F
H
B
I
C
B
I C
H
I
BC
H
图（１）
图（２）
图（３）
分析：图（１）中易证
ABF≌Δ IBF 及
ACG≌Δ HCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，Ａ
FG
1
BC CA)
( AB
Ｇ＝ＧＨ．∴ＧＦ为
AIH 的中位线．∴
2
．
FG
1 (AB CA
BC)
FG
1 (BC
CA AB)
同理可得图（２）中
2
；图（３）中
2
６．如图，
ABC 中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交
BAC 的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ