集合的基本关系及运算.doc

集合的基本关系及运算编稿:丁会敏审稿:王静伟【学习目标】 1. 理解集合之间包含与相等的含义,,了解空集和全集的含义. 2. 理解两个集合的交集和并集的含义,,会求给定子集的补集. 【要点梳理】要点一、集合之间的关系 1. 集合与集合之间的“包含”关系集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 子集:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合B 的子集(subset). 记作: A B( B A) ? ?或, 当集合 A 不包含于集合 B时, 记作 AB,用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: A B( B A) ? ?或要点诠释: (1)“A 是B 的子集”的含义是:A 的任何一个元素都是 B 的元素, 即由任意的 x A ?, 能推出 x B ?. (2)当A 不是 B 的子集时, 我们记作“A?B (或B?A )”, 读作:“A 不包含于 B ”(或“B 不包含 A ”). 真子集:若集合 A B ?,存在元素 x? B且 x A ?,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset). 记作: A B(或B A) 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 2. 集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ? ?且,则 A与B 中的元素是一样的,因此 A=B 要点诠释: 任何一个集合是它本身的子集, 记作 A A ?. 要点二、集合的运算 1. 并集一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A与B 的并集,记作: A∪B 读作:“A并B”,即: A∪ B={x|x ? A ,或 x? B} Venn 图表示: 要点诠释: (1)“x? A ,或 x? B”包含三种情况:“, x A x B ? ?但”;“, x B x A ? ?但”;“, x A x B ? ?且”. (2 )两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A与B 的所有元素组成的集合( 重复元素只出现一次). 2. 交集一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A与B 的交集;记作: A∩B ,读作:“A交B”,即 A∩ B={x|x ? A ,且 x? B} ;交集的 Venn 图表示: 要点诠释: (1 )并不是任何两个集合都有公共元素,当集合 A与B 没有公共元素时,不能说 A与B 没有交集,而是 A B ???. (2 )概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A∩B 中的任意元素都是 A与B 的公共元素”,同时“A 与B 的公共元素都属于 A∩B”. (3 )两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A与B 的所有公共元素组成的集合. 3. 补集全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集, 通常记作 U. 补集:对于全集 U 的一个子集 A ,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集 U 的补集(complementary set) , 简称为集合 A 的补集, 记作: U U A A={x|x U x A} ? ?;即且; 痧补集的 Venn 图表示: 要点诠释: (1 )理解补集概念时,应注意补集 UAe 是对给定的集合 A 和( ) U A U ?相对而言的一个概念,一个确定的集合 A ,对于不同的集合 U ,补集不同. (2) 全集是相对于研究的问题而言的, 如我们只在整数范围内研究问题,则Z 为全集; 而当问题扩展到实数集时,则 R 为全集,这时 Z 就不是全集. (3)UAe 表示 U 为全集时 A 的补集, 如果全集换成其他集合(如R )时, 则记号中“U”也必须换成相应的集合(即 RAe ). 4. 集合基本运算的一些结论 A B A A B B A A=A A = A B=B A ? ? ????????,,,, A A B B A B A A=A A =A A B=B A ? ? ???????,,,, U U ( A) A=U ( A) A= ? ??, 痧若A∩ B=A ,则 A B ?,反之也成立若A∪ B=B ,则 A B ?,反之也成立若x?(A∩ B) ,则 x? A且x? B 若x?(A∪ B) ,则 x? A ,或 x? B 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是