贝塞尔曲线和B样条曲线.docx

n+1个顶点定义一个n次贝塞尔曲线，其表达式为：
n
P(t) PiBi』(t) 0 t 1
i 0
Bi,n(t)
n!
i!(n 1)!ti(1
t)n i
§
在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲 线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出 的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下， 用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算； 另外，局部修改某些型值点，
希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier提出了一种参数曲线表示方法， 称之为贝塞尔 曲线。后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest等人加以发展成为B样条曲线。 一、 贝塞尔曲线
贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中， 曲线经过第
一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。 第一条和最后一条
则表示曲线起点和终点的切线方向。
数学表达式
Pi(i 0,1,2,..., n)为各顶点的位置向量，Bi,n(t)为伯恩斯坦基函数
二次贝塞尔曲线
需要3个顶点，即P0, P1, P2，将其代入曲线表达式:
p(t) P°B0,2 P1 B1,2 P2B2,2
B0,2
」^t°(1 t)20
0!(2 0)!
2
(1 t)
2
1 2t t
B1,2
-t1(1 t)21 1!(2 1)!
2t(1 t)
2t 2t2
B2,2
2! 2
2^t(1
t)2 2
t2
1
2
1
Po
t2 t 1
2
2
o
P1
o t 1
1
o
o
P2
p(t)
2(t 1)po 2(1 2t)p
1 2tp
2
P(0)
2po
2 5 2( P1
Po)
p(o)
Po
p(1)
2p1
2p2 2( P2
P1)
p(1)
P2
当t
-时：
2
1
11、 ―
1小
1
1 1
1 1
p -
(1 2
)Po (2
-2
—)p1
P2 Po
P1 匚 P2
2
2 4
2
4
4 4
2 4
![p1
1(Po P2)]
1 p -
2(2
1)Po 2(1 2
1)P1
2
1
P2
P2 Po
2
2
2
2
P(t)
(1
(2t
.2
t P2
2t t2)po
2t2)Pi
三次贝塞尔曲线
三次贝塞尔曲线需要4个点，即p0、p1、p2、p3
p(t)
1 P0
B0,3 (t)
P1 B1,3(t)
其中：B°,3
3!
t0
(1
t)30
0!(3
0)!
B「3
3!
1
(1
、3 1
t
t)
1!(3
1)!
B2,3
3!
2
(1
、3 2
t
t)
2!(3
2)!
B3,3
3!
t3
(1
t)3 3
3! (3
3)!
p(t) (1 3t 3t2 t3)po (3t
p2B2,3(t) p3B3,3(t)
3 2 3
(1 t) 1 3t 3t t
2 2 3
3t(1 t) 3t 6t 3t
3t2(1 t)1 3t2 3t3
t3
6t2 3t3)p1 (3t2 3t3)p2 t3p3
1
3 3
1
P0
3 2
3
6 3
0
P1
p(t) t t
t 1
0 t 1
3
3 0
0
P2
1
0 0
0
P3
贝塞尔曲线特点：

n-1次曲线,
当顶点数较大时，
拟合的曲线阶次太咼。
，不利于局部修改。
二、B样条曲线
用B样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。

通常，给定m+n+1个顶点pi(i 0,1, ,m n)可以定义m+1段n次参数函数为:
n
Pi,n(t) Pi kFk,n(t) ( 0 t 1)，(i 0,1, ,m)
k 0
其中Fk,n(t)为B样条分段混