贝塞尔曲线和B样条曲线.docx

§ 4. 3贝塞尔曲线和B样条曲线
在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通 过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出的型值 点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下，用精确的插 值方法去一点点地插值运算就很不合算； 另外，局部修改某些型值点，
希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲 线。后来又经Gorgon, Riesenfeld和Forrest等人加以发展成为B样条曲线。一、 贝塞尔曲线
贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中， 曲线经过第
一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。 第一条和最后一条
则表示曲线起点和终点的切线方向。
n+1个顶点定义一个n次贝塞尔曲线，其表达式为: n
p(t) PzBj (t) o t 1
数学表达式
Pi(i 0,1,2,..., n)为各顶点的位置向量，Bi,n(t)为伯恩斯坦基函数
二次贝塞尔曲线
需要3个顶点，即P。，Pb P2,将其代入曲线表达式:
p (t) P° Bo,2 Pl Bl,2
P2B2, 2
Bo,2 」t,l t)』
0! (2 0) !
(1 t)
Bl,2
JI t)S(2
2t(1 t)
1 2t t
2t 2t2
p(t ( 2t t2) po
) 1
(2t
2
2
0
2t2)Pi 12
t
1 Po
0 Pl
0 P2
P2
t2 t 1
1
2
1
p(t)
2(t
l)p0 2 (1 2t)p
i 2tp
2
P(o)
2po
2 5 2( Pi
Po)
P(0) Po
p(l)
2pi
2p2 2( P2
Pl)
p(l) P2
当t
-时：
2
1
11、—
1小
1
1 1
D -
仃2
)Pc (2
-2
_)
P! P2
Pc
2
2 4
2
4
4
4
!：pi
1 (Po P2)]
1
1 P -
2(2
l)Po2(l 2
”)Pi
2
P2 P2
Po
9.
2
2
2
B2,2
1 1
p, 厂
2 4
t)22 t2
2! 2
Pq
三次贝塞尔曲线
三次贝塞尔曲线需要4个点，即p。、》、5、p3
p(t) ： Po
3
其中：B* !(
0! (3
B (t)
0,3
t°
0)!
Pl
Bl, 3 (t)
P2B2, 3 (t)
3
P3B3, 3 …
t 3t t
2 3
(1
t)30
(11)
1 3
3!
1
、3 1
B「3
t
(1
t)
2
2
3
1! (3
D!
3t(l t)
3t
6t 3t
3
2
、3
1
B2,3 •
2! (3
t
2)!
(1
t)
3t2(l
t)1
3t2 3t3
3
1
■
t3
(1
t)33
3,3 3! (3 3) !
t
p(t) (1 3t 3t2
t3) Po
(3t
1 2 Co：
3\
/ c , 2
c , 3\ j 3
1
3 3
1
Po
3
2
3
6 3
0
Pl
t t
t
1
0 t 1
3
3 0
0
P2
1
0 0
0
p3
贝塞尔曲线特点：
l・n个顶点定义n-1次曲线，
当顶点数较大
I t
拟合的曲线阶次太咼。
2•任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。
二、B样条曲线
用B样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。
1•数学表达式
通常，给定m+n+1个顶点pMi 0,1, ,m n)可以定义m+1段n次参数函数为:
n
Pi,n(t) Pi kFk,