贝塞尔曲线和B样条曲线.docx

§,他们的共同特点是:生成的曲线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中,往往给出的型值点并不是十分精确,有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下,用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算; 另外,局部修改某些型值点,希望涉及到曲线的范围越小越好,这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。针对以上要求,法国人Bezier提出了一种参数曲线表示方法,称之为贝塞尔曲线。on,Riesenfeld和Forrest等人加以发展成为B样条曲线。一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中, 曲线经过第一点和最后一点,其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。 第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。1数学表达式n+1个顶点定义一个n次贝塞尔曲线,其表达式为:nP(t) PiBi』(t) 0t1i0Pi(i0,1,2,...,n)为各顶点的位置向量,Bi,n(t)为伯恩斯坦基函数Bi,n(t)n!i!(n1)!ti(1t),即P0,p1,p2,将其代入曲线表达式:P(t)p0B0,2 p1B1,2 p2B2,22!0—、20、2B0,2t(1t)(1t)12tt0!(20)!B1,22!—t1(1t)212t(1t)2t2t21!(21)!B2,22!t2(1t)22t22!(22)!P(t)(12tt2)P0(2t2t2)P1t2P2121P0t2t1220P10t1100P2P(t)2(t 1)P02(12t)P12tp2P(0)2P02P12(P1P0)P(0)P0P(1)2P12P22(P2P1)P(1)P2当t-时:2111、1小1、1111P-(12)P0 (2-2)P1P2 P0 P1 P222424 44 2 4知!(p0P2)]1P-2(21)P02(121),即p0、Pl、p2、p3。其中:B0,33!t0(1t)303(1t)13t3t2t30!(30)!B1,33!t(1t)313t(1t)23t6t23t31!(31)!B2,33!2一、32小2一、1亠2亠3t(1t)3t(1t)3t3t2!(32)!B3,33!t:3(1t)33t33!(33)!P(t)(13t3t2t3)P0 (3t6t23t3)P1(3t23t3)P2t3P3p(t)PoB°,3(t)卩尼用)P2B2,3(t)P3B3,3(t)1331P03 2 3630P1P(t)ttt10t13300P21000P3贝塞尔曲线特点:-1次曲线,当顶点数较大时,拟合的曲线阶次太咼。,不利于局部修改。二、B样条曲线用B样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。1数学表达式通常,给定m+n+1个顶点pi(i0,1,,mn)可以定义m+1段n次参数函数为:nPi,n(t) PikFk,n(t) (0t1),(i0,1,,m)k0其中Fk,n(t)为B样条分段混合函数,形式为:1nkFk』(t) (1)Ci(tnkj)n!jo?段数、次数 段数二节点数-次数,每段曲线与n+1个点有关;n m!Cmn!(m n)!