韦达定理初中奥数.docx

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学科：奥数 年级：初三
不分版本 期数： 346
本周教学内容：韦达定理及其应用
【内容综述】
设 一 元 二 次 方 程 有 二 实 数 根 ， 则 ，
。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a，b，c 的关系， 称之为
韦达定理。 其逆命题也成立。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】
1．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★ 例 1 若 a， b 为实数，且 ， ，求 的值。
思路 注意 a， b 为方程 的二实根；（隐含 ）。
解 （ 1）当 a=b 时，
；
（ 2）当 时，由已知及根的定义可知， a，b 分别是方程 的两根，由
韦达定理得
， ab=1.
说明 此题易漏解 a=b 的情况。根的对称多项式 ， ， 等都可以用
方程的系数表达出来。一般地，设 ， 为方程 的二根， ，则
有递推关系。
其中 n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a， b 值进而求出所求多项式值，但计算量
1
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较大。
★★★ 例 2 若 ， 且 ，试求代数式 的值。
思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为 ，由根的定义知 m， n 为方程 的二不等实根，再由韦达定
理，得
，
∴
2．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积， 则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★ 例 3 设一元二次方程 的二实根为 和 。
（ 1）试求以 和 为根的一元二次方程；
（ 2）若以 和 为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方
程。
解 （ 1）由韦达定理知
， 。
，
。
所以，所求方程为 。
（ 2）由已知条件可得
解之可得由②得 ， 分别讨论
（ p,q） =(0,0) ， (1,0)， ( 1,0)， (0,1)， (2,1)， ( 2 ,1)或 (0, 1)。
于是，得以下七个方程 ， ， ， ， ，
2
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x 2 2x 1 0 ， x 2 1 0 ，其中