2015年昆明嵩明国际文化城初次调研报告.ppt.ppt

20 13 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答共 4 页第 1 页 1 20 20 20 20 13 13 13 13 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答 201 3 年 5 月 1 2 日 9 : 0 0 ~ 1 1 : 0 0 一、填空题(满分 40 分,每小题 8 分,将答案写在下面相应的空格中) 题号 1 2 3 4 5 答案Φ 17 2 24 ? 2772 4 6 3 1 5 1 5 , 1, 2 2 ? ?? + ? ?? ?? ?? ? 1 . 方程 x 4 + y 4 + z 4 ? 2 x 2 y 2 ? 2 y 2 z 2 ? 2 z 2 x 2 =24 的全部整数解( x , y , z ) 的集合是. 答: Φ. 解:因为 x 4 + y 4 + z 4 ? 2 x 2 y 2 ? 2 y 2 z 2 ? 2 z 2 x 2 =( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 ? 4 z 2 x 2 =( x 2 ? y 2 ? z 2 +2 zx )( x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 zx ) =( x + y ? z )( x ? y + z )( x + y + z )( x ? y ? z ) 所以原方程等价于( x + y ? z )( x ? y + z )( x + y + z )( x ? y ? z )=24 . 若方程有整数解( x , y , z ) , 则 x + y ? z 、 x ? y + z 、 x + y + z 、 x ? y ? z 均为整数, 其乘积等于偶数 24 , 因此 x + y ? z 、 x ? y + z 、 x + y + z 、 x ? y ? z x + y ? z 、 x ? y + z 、 x + y + z 、 x ? y ? z 同奇偶, 所以它们都是偶数. 因此, 方程左边被 16 整除, 而右边的 2 4 不被 16 整除, 矛盾! 所以方程有整数解( x , y , z ) 的假设不成立, 即方程无整数解, 也就是方程 x 4 + y 4 + z 4 ? 2 x 2 y 2 ? 2 y 2 z 2 ? 2 z 2 x 2 =24 的全部整数解( x , y , z ) 的集合是Φ. 2 . 如右图, 菱形 ABCD 的顶点 D 、 C 在直线 y = x 上, 且顶点 A 、 B 在曲线 y = x 2 上, DA 平行于 y 轴,则菱形 ABCD 的面积= . 答: 17 2 ? 24 . 解:设 A ( a , a 2 ), B ( b , b 2 ), C ( b , b ), D ( a , a ) , 因为 AB//CD ,所以 2 2 b a b a ??=1 ,即 a + b =1 . 又 DC=AD , 所以 2 2( ) b a a a ? = ?,则 2 2(1 2 ) . a a a ? = ?即 2 (2 2 1) 2 0 a a ? + + = ,解得 2 1 a = ?, (另一根 2 2 + 舍! ) 因此 1 1 ( 2 1) 2 2 b a = ?= ??= ?. S ABCD =( a ? a 2 )( b ? a )= 17 2 24 ?. 3 . 函数 f : N → N ,使对一切 n ∈ N ,有 f ( f ( n ))+ f ( n ) =2 n + 3 ,且 f (0) =1 ,则(6) (7) (8) (9) (10) (1) (2) (3) (4) (5) f f f f f f f f f f + + + + 的值等于. 答: 2772 . 解:以 n =0 代入 f ( f ( n ))+ f ( n )=2 n +3 ( * ) A B C D y = x 2 y = x x y O 20 13 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答共 4 页第 2 页 2 得 f ( f (0))+ f (0)=2 × 0+3 ,得 f (1)+1=3 ,即 f (1)=2 . 进一步,令 n = 1 ,由( * )式得 f (2)=3 ,同理得 f ( n )= n +1 , n =3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 所以(6) (7) (8) (9) (10) (1) (2) (3) (4) (5) f f f f f f f