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等差数列知识点及类型题
一、数列
由与的关系求
由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，
若不能，则用分段函数的形式表示为。
根据下列条件，确定数列的通项公式。
分析：
将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
二、等差数列及其前n项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{}的前n项和是的形式（A，B是常数），则{}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{}的前n项和为，且满足
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求的表达式。
【变式】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝＝2pa＋an－p(p∈R)，
则{an}的通项公式为________．
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为，故数列{}是等差数列。
〖例3〗已知数列{}的首项=3，通项，且，，成等差数列。求：
（1）的值；
（2）数列{}的前n项和的公式。
分析：（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质：
已知数列{}是等差数列，是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则,特别：若m+n=2p，则。
（2）仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列也是等差数列；
(4)若等差数列的项数为2，则；
（5）若等差数列的项数为，则，且，
（6）
（其中均为常数）。
典型例题
1．等差数列中, 若，则＝________；
2.（）在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则=
4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　）
A．2 B．3 C．