几何模型
——
半角模型
什么叫半角模型？
?
定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两
?
条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模
型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，
解题思
路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三
角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，
再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题
。
基本模型（
1
）
——
正方形内含半角
?
如图，在正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
BC
、
CD
边上的点，
∠
EAF=45
°，求证：
EF=BE+DF
。
?
（
1
）证明：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
GB=DF
，
AF=AG
，∠
ABCD
为正方形，
BAD=90°
，
EAF=45°
，
BAE+
∠
DAF=45°
，
BAG+
∠
BAE=45°
=
∠
EAF
，
AGE
和△
AFE
中
AGE
≌△
AFE
（
SAS
），
GE=EF
，
GE=GB+BE=BE+DF
，
EF=BE+DF
；
BAG=
∠
DAF
，
由旋转可得
∵四边形
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
在△
∴△
∴
∵
∴
?
（
2
）解：
EF=DF
﹣
BE
，
?
?
?
?
?
?
ABE
绕点
A
逆时针旋转
90°
到
AD
，
CD
于点
G
，
1
）可证得△
AEF
≌△
AGF
，
EF=GF
，且
DG=BE
，
EF=DF
﹣
DG=DF
﹣
BE
．
证明如下：
如图，把△
交
同（
∴
∴
基本模型（
2
）
——
等边三角形内含半角
基本模型（
3
）
——
等腰直角三角形内含半角
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